Mostre que a matriz
A=[ccc cos theta & sin theta & 0 -sin theta & cos theta & 0 0 & 0 & 1 ]
é invertível para todos os valores de theta; em seguida, encontre A^-1 usando a adjunta de A.
Solução: A^-1=[ccccos theta & -sin theta & 0 sin theta & cos theta & 0 0 & 0 & 1]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a matriz
A= costheta & sintheta & 0 -sintheta & costheta & 0 0 & 0 & 1
é invertível para todo theta e, em seguida, encontrar A^-1 usando a adjunta. O conteúdo necessário é (1) cálculo de determinante para verificar invertibilidade e (2) uso da fórmula
A^-1=1det(A)adj(A)

Passo 2

Calculemos det(A). Como A é bloco-diagonal, com um bloco 2times2 e um 1times1,
det(A)=detcostheta & sintheta -sintheta & costhetacdotdet(1)
No bloco 2times2 temos
detcostheta & sintheta -sintheta & costheta =cos^2theta+ sin^2theta=1
Logo det(A)=1neq0, o que prova que A é invertível para todo theta.

Passo 3

Usamos agora a fórmula
A^-1=1det(A),adj(A) =adj(A)
já que det(A)=1. Resta então calcular adj(A), que é a transposta da matriz dos cofatores Cij=(-1)^i+jMij, onde Mij é o menor de ordem 2 obtido ao remover a linha i e coluna j.

Passo 4

Vamos listar os cofatores não nulos:
– Para (i,j)=(1,1):
M11=detcostheta & 00&1=costheta, C11=+,M11=costheta
– Para (i,j)=(1,2):
M12=det-sintheta & 00&1=-sintheta, C12=(-1)^1+2M12=-(-sintheta)=sintheta
– Para (i,j)=(2,1):
M21=detsintheta & 00&1=sintheta, C21=(-1)^2+1M21=-sintheta
– Para (i,j)=(2,2):
M22=detcostheta & 00&1=costheta, C22=+,M22=costheta
– Para (i,j)=(3,3):
M33=detcostheta & sintheta -sintheta & costheta =1, C33=+,1=1
Todos os outros cofatores são zero. Assim, a matriz dos cofatores é
C= costheta & sintheta & 0 -sintheta & costheta & 0 0 & 0 & 1
Então
adj(A)=C^T = costheta & -sintheta & 0 sintheta & costheta & 0 0 & 0 & 1

Passo 5

Como det(A)=1, concluímos
A^-1=adj(A) = costheta & -sintheta & 0 sintheta & costheta & 0 0 & 0 & 1

Resposta

A^-1 = costheta & -sintheta & 0 sintheta & costheta & 0 0 & 0 & 1

Exercícios relacionados