Exercício 7. Um campo retangular vai ser cercado por um material que custa \mathrm{R} \ 25,00 o metro linear. Depois de cercado, o campo vai ser dividido ao meio, unindo os pontos médios de dois segmentos paralelos, com um material que custaé\mathrm{R} $10,00 o metro linear. Encontre o campo de maior área possível que pode ser cercado com um custo deáí\mathrm{R} $ 4.800,00$.

Passo 1

O enunciado pede encontrar o campo retangular de maior área possível, sujeito à restrição de que o custo total da cerca seja \text{R}\$4.800{,}00.
Informações dadas:
  • A cerca externa do retângulo custa \text{R}\$25{,}00 por metro linear.
  • Depois de cercado, o campo é dividido ao meio ligando os pontos médios de dois lados paralelos, e essa cerca interna custa \text{R}\$10{,}00 por metro linear.
  • O custo total disponível é \text{R}\$4.800{,}00.
  • Precisamos escolher as dimensões do retângulo que maximizem a área com esse custo.
Observação útil (tirada do enunciado): ao unir os pontos médios de dois lados opostos (segmentos paralelos), o segmento interno tem comprimento igual a um dos lados do retângulo (ou seja, conecta as duas laterais e seu comprimento é igual à largura ou ao comprimento do retângulo, dependendo de como nomeamos).

Passo 2

Definir variáveis de forma clara (isso ajuda muito na prova):
  • Seja x o comprimento de um lado do retângulo (em metros) que coincide com o comprimento do segmento interno (ou seja, o segmento que divide o campo tem comprimento x).
  • Seja y o comprimento do lado adjacente (em metros).
    Assim a área do retângulo é
A = x y.
Agora vamos montar o custo total em função de x e y.

Passo 3

Montar a expressão do custo total:
  • Custo da cerca externa (perímetro): o perímetro do retângulo é 2x+2y. Como o material externo custa \text{R}\$25{,}00 por metro, o custo da cerca externa é
25\cdot(2x+2y)=50(x+y).
  • Custo da divisão interna: o segmento interno tem comprimento igual a x (conforme definimos) e o material custa \text{R}\$10{,}00 por metro, então o custo interno é
10\cdot x = 10x.
Logo o custo total C é
C = 50(x+y) + 10x = 60x + 50y.
A restrição do problema é que C=\text{R}\$4.800{,}00. Para trabalhar com números sem a notação de moeda, usamos o valor numérico 4800. Assim a restrição é
60x + 50y = 4800.

Passo 4

Isolar uma variável usando a restrição (para reduzir a área a uma função de uma variável):
Da equação de custo,
50y = 4800 - 60x
portanto
y = \frac{4800-60x}{50}.
Simplificando os coeficientes,
y = 96 - \frac{6}{5}x.

Passo 5

Escrever a área A como função de x substituindo y:
A(x) = x\cdot y = x\left(96 - \frac{6}{5}x\right).
Distribuindo,
A(x) = 96x - \frac{6}{5}x^{2}.
Temos uma função quadrática em x com coeficiente do termo x^{2} negativo ( -\tfrac{6}{5}), o que significa que a parábola abre para baixo e a função tem um máximo em seu vértice. Agora vamos encontrar o x que dá esse máximo.

Passo 6

Calcular o x que maximiza A(x). Para uma quadrática da forma
A(x)=a x^{2}+b x + c,
o vértice (valor de x que maximiza quando a<0) é
x^{*} = -\frac{b}{2a}.
No nosso caso a=-\dfrac{6}{5} e b=96. Então
x^{*} = -\frac{96}{2\left(-\dfrac{6}{5}\right)} = \frac{96}{\dfrac{12}{5}} = 96\cdot\frac{5}{12}.
Calcule passo a passo:
96\cdot\frac{5}{12} = \left(96\div 12\right)\cdot 5 = 8\cdot 5 = 40.
Portanto x^{*}=40 metros.
(Se quiser, pode verificar pelo cálculo da derivada: A'(x)=96 - \tfrac{12}{5}x; igualando a zero dá x=40. A segunda derivada é A''(x)=-\tfrac{12}{5}<0, confirmando máximo.)

Passo 7

Encontrar y correspondente e a área máxima:
Usando a expressão de y,
y = 96 - \frac{6}{5}x^{*} = 96 - \frac{6}{5}\cdot 40.
Calcule:
\frac{6}{5}\cdot 40 = 6\cdot 8 = 48,
então
y = 96 - 48 = 48\\ \text{metros}.
A área máxima é
A_{\max} = x^{*}\,y = 40\cdot 48 = 1920\\ \text{m}^{2}.

Passo 8

Interpretação final e checagem rápida do custo para garantir coerência:
  • Verificar o custo total com x=40 e y=48:
60x+50y = 60\cdot 40 + 50\cdot 48 = 2400 + 2400 = 4800,
ou seja, atende exatamente ao orçamento de \text{R}\$4.800{,}00. Tudo consistente.
Força aí — você conseguiu! A estratégia típica em prova: definir variáveis, escrever custo e área, eliminar uma variável pela restrição e maximizar a quadrática (vértice ou derivada). Isso resolve muitos problemas parecidos.

Resposta

Área máxima: 1920\\ \text{m}^{2}
Dimensões que alcançam essa área: x=40\\ \text{m} e y=48\\ \text{m}

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