Exercício 7. Um campo retangular vai ser cercado por um material que custa
25,00
\mathrm{R} $10,00
\mathrm{R} $ 4.800,00$.
Passo 1
O enunciado pede encontrar o campo retangular de maior área possível, sujeito à restrição de que o custo total da cerca seja
.
Informações dadas:
- A cerca externa do retângulo custa
por metro linear. - Depois de cercado, o campo é dividido ao meio ligando os pontos médios de dois lados paralelos, e essa cerca interna custa
por metro linear. - O custo total disponível é
. - Precisamos escolher as dimensões do retângulo que maximizem a área com esse custo.
Observação útil (tirada do enunciado): ao unir os pontos médios de dois lados opostos (segmentos paralelos), o segmento interno tem comprimento igual a um dos lados do retângulo (ou seja, conecta as duas laterais e seu comprimento é igual à largura ou ao comprimento do retângulo, dependendo de como nomeamos).
Passo 2
Definir variáveis de forma clara (isso ajuda muito na prova):
- Seja
o comprimento de um lado do retângulo (em metros) que coincide com o comprimento do segmento interno (ou seja, o segmento que divide o campo tem comprimento ). - Seja
o comprimento do lado adjacente (em metros).
Assim a área do retângulo é
Agora vamos montar o custo total em função de
e
.
Passo 3
Montar a expressão do custo total:
- Custo da cerca externa (perímetro): o perímetro do retângulo é
. Como o material externo custa por metro, o custo da cerca externa é
- Custo da divisão interna: o segmento interno tem comprimento igual a
(conforme definimos) e o material custa por metro, então o custo interno é
Logo o custo total
é
A restrição do problema é que
. Para trabalhar com números sem a notação de moeda, usamos o valor numérico
. Assim a restrição é
Passo 4
Isolar uma variável usando a restrição (para reduzir a área a uma função de uma variável):
Da equação de custo,
Da equação de custo,
portanto
Simplificando os coeficientes,
Passo 5
Escrever a área
como função de
substituindo
:
Distribuindo,
Temos uma função quadrática em
com coeficiente do termo
negativo (
), o que significa que a parábola abre para baixo e a função tem um máximo em seu vértice. Agora vamos encontrar o
que dá esse máximo.
Passo 6
Calcular o
que maximiza
. Para uma quadrática da forma
o vértice (valor de
que maximiza quando
) é
No nosso caso
e
. Então
Calcule passo a passo:
Portanto
metros.
(Se quiser, pode verificar pelo cálculo da derivada:
; igualando a zero dá
. A segunda derivada é
, confirmando máximo.)
Passo 7
Encontrar
correspondente e a área máxima:
Usando a expressão de ,
Usando a expressão de
Calcule:
então
A área máxima é
Passo 8
Interpretação final e checagem rápida do custo para garantir coerência:
- Verificar o custo total com
e :
ou seja, atende exatamente ao orçamento de
. Tudo consistente.
Força aí — você conseguiu! A estratégia típica em prova: definir variáveis, escrever custo e área, eliminar uma variável pela restrição e maximizar a quadrática (vértice ou derivada). Isso resolve muitos problemas parecidos.
Resposta
Área máxima:
Dimensões que alcançam essa área: e
Dimensões que alcançam essa área: