Exercício 11: Considere o potencial de poço infinito, isto é,
a) encontre as autofunções da energia e os autovalores da energia, considerando que nas paredes do potencial temos condições de Dirichlet, ou seja,
b) normalize os autoestados encontrados.
c) considere que a partícula se encontra no seguinte estado
Para esse estado, calcule a probabilidade da partícula se encontrar na segunda metade do poço, isto é,
.
c) considere que a partícula se encontra no seguinte estado
Passo 1
O enunciado dá o potencial do poço infinito de comprimento [L) com as paredes infinitas em
e
, e impõe condições de Dirichlet
. As perguntas são:
- (a) encontrar as autofunções de energia
e os autovalores da energia (com as condições de contorno dadas); - (b) normalizar esses autoestados;
- (c) para o estado inicial
, calcular a probabilidade de encontrar a partícula na segunda metade do poço, ou seja na região .
Informações importantes dadas:
- Potencial:
- Condições de contorno: .
- Estado inicial para a parte (c):
.]
Passo 2
Escrevendo a equação de Schrödinger independente do tempo na região onde
, isto é para
:
Vamos reorganizar essa equação. Definindo
por
a equação reduz-se a
A equação acima é a equação harmónica comum: suas soluções gerais são combinações lineares de seno e cosseno:
onde
e
são constantes a determinar pelas condições de contorno.
Passo 3
Aplicar a condição em
:
. Substituindo,
Como
, segue
. Portanto as soluções ficam apenas com seno:
Passo 4
Aplicar a condição em
:
. Com
,
Para que haja solução não trivial (
), é necessário
Logo os valores permitidos de
são
. Usando
, obtemos os autovalores de energia:
As autofunções (ainda com uma constante multiplicativa) são
Passo 5
Agora normalizar os autoestados: a normalização exige
Como as
são reais, isto é
Usamos a identidade trigonométrica
. Então
As funções seno avaliadas em múltiplos inteiros de
são zero, então o segundo termo some e obtemos
Logo
Tomando
real e positivo por convenção,
Portanto as autofunções normalizadas são
Passo 6
Resumo (parte a e b) — resultado encontrado e interpretado:
- Autovalores de energia:
- Autofunções (normalizadas):
Estas
formam um conjunto ortonormal em
:
.
Passo 7
Passando para a parte (c): o estado inicial é
A probabilidade de encontrar a partícula na segunda metade do poço
é
Vamos expandir o módulo ao quadrado. Como as
são reais,
Logo
Denotando
esses integrais parciais, vamos calculá-los explicitamente usando as formas normalizadas
.
Passo 8
Calcular
.
Avaliaremos:
pois
e
. Portanto
Passo 9
Calcular
.
De forma análoga:
pois
e
. Logo
Passo 10
Calcular
.
Substituindo as formas normalizadas:
Substituindo as formas normalizadas:
Usamos a identidade produto-para-soma:
Com
e
,
Portanto
Calcule cada integral:
Assim
Passo 11
Juntando os resultados em
:
Simplificando,
Podemos também dar uma aproximação numérica:
então
Resposta
(a)
(b) Constante de normalização
, portanto
acima está normalizada.
(c)