Exercício 11. (D.K. ex. 14.8) Seja phi in S(R^n). Prove uma das seguintes afirmações e obtenha a seguinte através da transformada de Fourier.
i) Se phi(0)=0, então existem phi1, ldots, phin in S(R^n) tais que phi(x)=sumj=1^n xj phij(x).
ii) Se integralR^n phi(x) d x=0, então existem phi1, ldots, phin in S(R^n) tais que phi(x)=sumj=1^n partialxj phij(x).

Passo 1

O enunciado pede dois lemas de decomposição em S( R^n):
i) se phi(0)=0 então
phi(x)=sumj=1^n xj,phij(x),
com phijin S( R^n);
ii) se integral R^nphi(x),dx=0 então
phi(x)=sumj=1^npartialxjpsij(x),
com psijin S( R^n).
Vamos provar diretamente i) usando o Teorema Fundamental do Cálculo e em seguida obter ii) por transformada de Fourier, lembrando que F: Sto S é um isomorfismo.

Passo 2

Como phi(0)=0, para qualquer xin R^n aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo à função tmapstophi(t x):
phi(x)-phi(0) =integral0^1ddtphi(t x),dt =integral0^1sumj=1^n xj,partialjphi(t x),dt
Logo definimos
phij(x)=integral0^1partialjphi(t x),dt,
para j=1,dots,n. Assim
phi(x)=sumj=1^n xj,phij(x),
construindo a forma desejada.

Passo 3

Falta ver que cada phij é Schwartz. Tomemos multiíndices alpha,beta. Pela regra de cadeia,
partial^alphaphij(x) =integral0^1t^|alpha|,partial^alpha+ejphi(t x),dt
Então
l|x^beta,partial^alphaphij(x)r| <=integral0^1t^|alpha|,l|(t x)^beta,partial^alpha+ejphi(t x)r|;t^-|beta|,dt <= Calpha,betaintegral0^1t^|alpha|-|beta|,dt,
que é finito e independente de x. Como phiin S, partial^alpha+ejphi decai rápido, garantindo que phijin S( R^n).

Passo 4

Agora recordamos propriedades da transformada de Fourier em S:
  1. F e F^-1 levam S em si.
  2. Fpartialxjf(xi)=i,xij,widehat f(xi).
  3. Consequentemente F^-1i,xij,g(xi)=partialxjl( F^-1gr).

Passo 5

Suponha integralphi(x),dx=0. Então widehatphi(0)=0, e aplicando o item i) ao Schwartz psi(xi)=widehatphi(xi) obtemos
widehatphi(xi) =sumj=1^nxij,psij(xi),
com psijin S( R^nxi).

Passo 6

Invertendo a transformada,
phi(x) = F^-1widehatphi(x) =sumj=1^n F^-1xij,psij(x) =sumj=1^npartialxjunderbrace F^-1i,psij(x)=psij^*(x),
onde psij^*in S( R^n). Logo
phi(x)=sumj=1^npartialxjpsij^*(x),
que é exatamente a forma ii).

Resposta

Prova de i) por Teorema Fundamental do Cálculo e obtenção de ii) via transformada de Fourier, conforme construções acima.

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