Exercício 11. (D.K. ex. 14.8) Seja . Prove uma das seguintes afirmações e obtenha a seguinte através da transformada de Fourier.
i) Se , então existem tais que .
ii) Se , então existem tais que .
Passo 1
O enunciado pede dois lemas de decomposição em :
i) se então
com ;
ii) se então
com .
Vamos provar diretamente i) usando o Teorema Fundamental do Cálculo e em seguida obter ii) por transformada de Fourier, lembrando que é um isomorfismo.
Passo 2
Como , para qualquer aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo à função :
Logo definimos
para . Assim
construindo a forma desejada.
Passo 3
Falta ver que cada é Schwartz. Tomemos multiíndices . Pela regra de cadeia,
Então
que é finito e independente de x. Como phiin S, partial^alpha+ejphi decai rápido, garantindo que phijin S( R^n).
Passo 4
Agora recordamos propriedades da transformada de Fourier em S: