Determine o núcleo e a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo.
Para as que forem isomorfismos, encontre a transformação inversa. , onde .
Passo 1
O enunciado pede o núcleo e a imagem da transformação linear
Tcolon M2times2to M2times2, T(A)=MA - AM,
onde
M=1&22&2
O conteúdo usado será: caracterização do núcleo como centralizador de M, o teorema do posto-função (rank–nullity) e a descrição da imagem via forma bilinear lang<= X,Yrang<= =tr(X,Y).
Passo 2
Para achar ker(T) resolvemos
MA - AM = 0 Long<=ftrightarrow AM=MA,
ou seja, A deve commutar com M. Como o polinômio característico de M é
det(M-lambda I)=lambda^2-3lambda-2
e tem duas raízes distintas lambda1neqlambda2, M é diagonalizável com autovalores distintos. Logo o centralizador de M tem dimensão 2 e consiste nos polinômios em M. Assim
ker(T)=,aI+bMmid a,binR,
que é um subespaço de dimensão 2.
Passo 3
Pelo teorema posto–nulo (rank–nullity), como dim M2times2=4 e dimker(T)=2, segue
dimIm(T)=4-2=2
Passo 4
Para descrever Im(T) usamos que, na álgebra de matrizes, a forma bilinear lang<= X,Yrang<==tr(X,Y) é não-degenerada e