Determine o núcleo e a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo.
Para as que forem isomorfismos, encontre a transformação inversa.
T: M2 times 2 M2 times 2, T(A)=M A-A M, onde M=[ll1 & 2 2 & 2].

Passo 1

O enunciado pede o núcleo e a imagem da transformação linear
Tcolon M2times2to M2times2, T(A)=MA - AM,
onde
M=1&22&2
O conteúdo usado será: caracterização do núcleo como centralizador de M, o teorema do posto-função (rank–nullity) e a descrição da imagem via forma bilinear lang<= X,Yrang<= =tr(X,Y).

Passo 2

Para achar ker(T) resolvemos
MA - AM = 0 Long<=ftrightarrow AM=MA,
ou seja, A deve commutar com M. Como o polinômio característico de M é
det(M-lambda I)=lambda^2-3lambda-2
e tem duas raízes distintas lambda1neqlambda2, M é diagonalizável com autovalores distintos. Logo o centralizador de M tem dimensão 2 e consiste nos polinômios em M. Assim
ker(T)=,aI+bMmid a,binR,
que é um subespaço de dimensão 2.

Passo 3

Pelo teorema posto–nulo (rank–nullity), como dim M2times2=4 e dimker(T)=2, segue
dimIm(T)=4-2=2

Passo 4

Para descrever Im(T) usamos que, na álgebra de matrizes, a forma bilinear lang<= X,Yrang<==tr(X,Y) é não-degenerada e
Im(T)=l(ker(T)r)^perp =,Ymid tr(Y,A)=0 forall,Ainker(T)
Como ker(T)=aI+bM, impomos para todo a,b
a,tr(Y)+b,tr(YM)=0
o que equivale ao sistema
tr(Y)=0, tr(M,Y)=0
Isso caracteriza um subespaço de dimensão 2 em M2times2. Portanto podemos escrever em bloco:
Im(T) =lYin M2times2;|;tr(Y)=0, tr(M,Y)=0r

Passo 5

Como ker(T)neq0, T não é injetora e, portanto, não é isomorfismo. Logo não há transformação inversa.

Resposta

ker(T)=laI+bMmid a,bin Rr,
Im(T) =lYin M2times2mid tr(Y)=0, tr(M,Y)=0r
T não é isomorfismo, logo não existe T^-1.

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