Exercício 9. (D.K. ex. 14.5) Sejam phi1, ldots, phin funções integráveis definidas em R. Mostre que
F(phi1(x1) ldots phin(xn))(xi1, ldots, xin)=F(phi1)(xi1) ldots F(phin)(xin)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a transformada de Fourier em n dimensões da função em variáveis separadas
f(x1,dots,xn)=phi1(x1),phi2(x2)cdotsphin(xn)
fatoriza em produto das transformadas unidimensionais F(phij). O conteúdo usado será a definição de transformada de Fourier em R^n e o Teorema de Fubini para separar integrais.

Passo 2

Lembrando a definição da transformada de Fourier em R^n: para fin L^1( R^n),
F(f)(xi1,dots,xin) =integral R^nf(x1,dots,xn),e^-2pi i(x1xi1+cdots+xnxin) ,dx1cdots dxn
Como phijin L^1( R), o produto f(x)=prodj=1^nphij(xj) está em L^1( R^n) e podemos aplicar Fubini.

Passo 3

Pelo Teorema de Fubini, a integral múltipla se separa em iteradas:
F(f)(xi) =integral R^nl(prodj=1^nphij(xj)r) e^-2pi isumj=1^n xjxij ,dx1cdots dxn =prodj=1^nl(integral Rphij(xj)e^-2pi i xjxijdxjr)

Passo 4

Cada integral unidimensional
integral Rphij(xj)e^-2pi i xjxijdxj
é exatamente F(phij)(xij) pela definição da transformada de Fourier em uma variável.

Passo 5

Concluímos que
Fl(phi1(x1)cdotsphin(xn)r)(xi1,dots,xin) =prodj=1^n F(phij)(xij)

Resposta

Fl(phi1(x1)ldotsphin(xn)r)(xi1,ldots,xin) = F(phi1)(xi1),ldots, F(phin)(xin)

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