Exercício 9. (D.K. ex. 14.5) Sejam
funções integráveis definidas em
. Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a transformada de Fourier em
dimensões da função em variáveis separadas
fatoriza em produto das transformadas unidimensionais
. O conteúdo usado será a definição de transformada de Fourier em
e o Teorema de Fubini para separar integrais.
Passo 2
Lembrando a definição da transformada de Fourier em
: para
,
Como
, o produto
está em
e podemos aplicar Fubini.
Passo 3
Pelo Teorema de Fubini, a integral múltipla se separa em iteradas:
Passo 4
Cada integral unidimensional
é exatamente
pela definição da transformada de Fourier em uma variável.
Passo 5
Concluímos que