P 4.3. Utilize determinantes para calcular a característica da matriz [llll1 & 2 & 3 & 1 4 & 5 & 6 & 1 7 & 8 & 9 & 1].

Passo 1

O enunciado fornece a matriz Ain R^3times4 e pede o posto (rank) usando determinantes. Vamos usar o critério de postos: o posto de A é o maior inteiro k tal que existe um menor ktimes k com determinante não nulo.

Passo 2

Para ver se o posto é 3, calculamos os menores 3times3. Há quatro escolhas de colunas, mas basta mostrar que um deles já dá det zero para a base 1,2,3:
det 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 =1cdot(5cdot9-6cdot8)-2cdot(4cdot9-6cdot7)+3cdot(4cdot8-5cdot7) =0
Uma verificação similar para as outras escolhas mostra que todos os menores 3times3 são zero, portanto o posto não pode ser 3.

Passo 3

Para ver se o posto é pelo menos 2, basta encontrar um menor 2times2 não nulo. Por exemplo, usando as linhas 1 e 2 e colunas 1 e 2,
det 1 & 2 4 & 5 =1cdot5-2cdot4=-3neq0
Logo existe um menor 2times2 não nulo, o que implica posto >=2.

Passo 4

Combinando essas informações concluímos que o posto de A é exatamente 2.

Resposta

2

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