Exercício 11. Dado ( Ω, f, P ), para dois eventos A e B na σ-álgebra f, mostre que
Se B ⊆ A então P(B) ≤ P(A).

Passo 1

O enunciado nos dá um espaço de probabilidade (Omega,F,P) e pede para mostrar que, dados A,BinF com Bsubseteq A, vale
P(B)<= P(A)
O conteúdo aqui é a propriedade de monotonicidade de uma medida de probabilidade, que decorre da aditividade finita (ou contável) e da positividade de P.

Passo 2

Como Bsubseteq A, podemos decompor A em duas partes disjuntas:
A = B ;dotcup; (Asetminus B),
ou seja, Bcap(Asetminus B)=varnothing e Bcup(Asetminus B)=A.

Passo 3

Pela aditividade de P em eventos disjuntos, temos
P(A) ;=; Pl(B;dotcup;(Asetminus B)r) ;=;P(B) + P(Asetminus B)

Passo 4

Como toda medida de probabilidade satisfaz P(E)>=0 para qualquer EinF, segue
P(Asetminus B)>=0,
logo, da expressão do passo anterior,
P(A) = P(B) + P(Asetminus B) ;>=;P(B)

Resposta

Portanto, se Bsubseteq A então P(B)<= P(A).

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