Exercício 11. Dado (
), para dois eventos
e
na
-álgebra
, mostre que
Se
então
.
Se
Passo 1
O enunciado nos dá um espaço de probabilidade
e pede para mostrar que, dados
com
, vale
O conteúdo aqui é a propriedade de monotonicidade de uma medida de probabilidade, que decorre da aditividade finita (ou contável) e da positividade de
.
Passo 2
Como
, podemos decompor
em duas partes disjuntas:
ou seja,
e
.
Passo 3
Pela aditividade de
em eventos disjuntos, temos
Passo 4
Como toda medida de probabilidade satisfaz
para qualquer
, segue
logo, da expressão do passo anterior,
Resposta
Portanto, se
então
.