Exercício 11. Dado ( Ω, f, P ), para dois eventos A e B na σ-álgebra f, mostre que
(Regra da adição de probabilidade) P(A ∪ B)=P(A)+P(B)-P(A ∩ B).

Passo 1

O enunciado dá um espaço de probabilidade (Omega,F,P) e pede para provar a regra da adição de probabilidade para dois eventos A e B em F:
P(Acup B)=P(A)+P(B)-P(Acap B)
Para isso vamos usar a propriedade de aditividade finita de P em eventos disjuntos e fatos de teoria de conjuntos, como decompor uniões e interseções.

Passo 2

Observe que
Acup B ;=; A ;cup; (Bsetminus A),
onde Bsetminus A = Bcap A^c. Além disso
A cap (Bsetminus A) = varnothing,
isto é, os conjuntos A e Bsetminus A são disjuntos.

Passo 3

Pela aditividade de P em dois eventos disjuntos, temos
P(Acup B) ;=; Pl(A;cup;(Bsetminus A)r) = P(A) + P(Bsetminus A)

Passo 4

Também podemos decompor B em duas partes disjuntas:
B = (Bcap A);cup;(Bsetminus A),
com (Bcap A)cap(Bsetminus A)=varnothing.

Passo 5

Aplicando aditividade em B, obtemos
P(B) = P(Bcap A) + P(Bsetminus A)
Desse resultado segue
P(Bsetminus A) = P(B) - P(Bcap A)

Passo 6

Substituindo P(Bsetminus A) em P(Acup B)=P(A)+P(Bsetminus A), vem
P(Acup B) = P(A) + l[P(B) - P(Bcap A)r] = P(A) + P(B) - P(Acap B)

Resposta

P(Acup B)=P(A)+P(B)-P(Acap B)

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