Exercício 11. Dado (
), para dois eventos
e
na
-álgebra
, mostre que
(Regra da adição de probabilidade)
.
(Regra da adição de probabilidade)
Passo 1
O enunciado dá um espaço de probabilidade
e pede para provar a regra da adição de probabilidade para dois eventos
e
em
:
Para isso vamos usar a propriedade de aditividade finita de
em eventos disjuntos e fatos de teoria de conjuntos, como decompor uniões e interseções.
Passo 2
Observe que
onde
. Além disso
isto é, os conjuntos
e
são disjuntos.
Passo 3
Pela aditividade de
em dois eventos disjuntos, temos
Passo 4
Também podemos decompor
em duas partes disjuntas:
com
.
Passo 5
Aplicando aditividade em
, obtemos
Desse resultado segue
Passo 6
Substituindo
em
, vem