Exercício 10. (a) 3 bolas são retiradas ao acaso (sem reposição) de uma urna contendo 3 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 azuis. De quantas maneiras isso é possível?
(b) No contexto do item (a), suponha que um jogador ganhe R 1,00 para cada bola se<=cionada branca e perde R 1,00 por cada bola vermelha. Se a v.a. X denota o “ganho” obtido ao escolher 3 bolas ao acaso, determine o suporte da v.a. X, sua função de probabilidade e sua função de distribuição acumulada.

Passo 1

O enunciado diz que há uma urna com 3 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 azuis, e retiramos 3 bolas sem reposição. No item (a) queremos contar de quantas maneiras isso pode ocorrer (combinações). No item (b) definimos a v.a. X= (número de brancas) - (número de vermelhas), com ganho de R$ (1) por bola branca e perda de R por bola branca e perda de R$ 1 por bola vermelha; bolas azuis não afetam o ganho. Precisamos achar o suporte de X, sua função de probabilidade pX(k) e sua função de distribuição acumulada FX(x).

Passo 2

Para (a), o total de maneiras de escolher 3 bolas dentre 11 é
binom113 = 11cdot10cdot93cdot2cdot1 =165

Passo 3

Em (b), seja W o número de brancas e R o número de vermelhas na amostra de 3 bolas. Então W,Rin0,1,2,3 e W+R<=3, e definimos
X = W - R
Os valores possíveis de X vão de -3 (todas vermelhas) até +3 (todas brancas), portanto
SX = -3,-2,-1,0,1,2,3

Passo 4

A probabilidade de obter um triplete (W,R,B) é dada por
binom3W,binom3R,binom5Bbinom113,
sujeito a W+R+B=3. Para cada kinSX somamos os casos com W-R=k.

Passo 5

Calculando pX(k)=P(X=k) para cada k:
&pX(3): (W,R,B)=(3,0,0)to 1 caso;Rightarrow;1/165, &pX(2): (2,0,1)to 3cdot1cdot5=15;Rightarrow;15/165=1/11, &pX(1): (1,0,2)to30, (2,1,0)to9;Rightarrow;(30+9)/165=39/165=13/55, &pX(0): (0,0,3)to10, (1,1,1)to45;Rightarrow;(10+45)/165=55/165=1/3, &pX(-1): (0,1,2)to30, (1,2,0)to9;Rightarrow;39/165=13/55, &pX(-2): (0,2,1)to15;Rightarrow;15/165=1/11, &pX(-3): (0,3,0)to1;Rightarrow;1/165

Passo 6

A função de distribuição acumulada é
FX(x)=P(X<= x)=sumk<= xpX(k),
logo em forma de escalões:
FX(x)= 0, & x< -3, 1/165, & -3<= x< -2, 16/165, & -2<= x< -1, 55/165=1/3, & -1<= x<0, 110/165=2/3, & 0<= x<1, 149/165, & 1<= x<2, 164/165, & 2<= x<3, 1, & x>=3

Resposta

(a) 165.
(b)
Suporte: SX=-3,-2,-1,0,1,2,3
Função de probabilidade:
pX(k)= 1/165, & k=pm3, 1/11, & k=pm2, 13/55, & k=pm1, 1/3, & k=0
Função de distribuição acumulada:
FX(x)= 0, & x< -3, 1/165, & -3<= x< -2, 16/165, & -2<= x< -1, 1/3, & -1<= x<0, 2/3, & 0<= x<1, 149/165, & 1<= x<2, 164/165, & 2<= x<3, 1, & x>=3

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