Exercício 13. Prove que
.
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a identidade de probabilidade condicionada
Estamos trabalhando com conceitos de probabilidade condicionada, em particular usando a definição
e a ideia de particionar o conjunto
em dois eventos disjuntos.
Passo 2
Note que o evento
pode ser escrito como união de dois eventos disjuntos:
e
. Isso significa que toda massa de probabilidade de
se distribui entre esses dois subconjuntos.
Passo 3
Como
também se particiona por esta mesma divisão de
, vale a soma de probabilidades disjuntas:
Passo 4
Usando a definição de probabilidade condicionada em
, temos
Passo 5
Agora escrevemos cada termo como produto de uma probabilidade condicionada pela probabilidade do condicionante:
Substituindo na fração e lembrando que
e
, obtemos