Exercício 13. Prove que P(E mid F)=P(E mid F cap G) P(G mid F)+P(E mid F cap G^c) P(G^c mid F).

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a identidade de probabilidade condicionada
P(E mid F) = P(E mid F cap G),P(G mid F) + P(E mid F cap G^c),Pl(G^cmid Fr)
Estamos trabalhando com conceitos de probabilidade condicionada, em particular usando a definição
P(E mid F)=P(Ecap F)P(F),
e a ideia de particionar o conjunto F em dois eventos disjuntos.

Passo 2

Note que o evento F pode ser escrito como união de dois eventos disjuntos:
F = (Fcap G);cup;(Fcap G^c),
e (Fcap G)cap(Fcap G^c)=varnothing. Isso significa que toda massa de probabilidade de F se distribui entre esses dois subconjuntos.

Passo 3

Como (Ecap F) também se particiona por esta mesma divisão de F, vale a soma de probabilidades disjuntas:
P(Ecap F) = Pl(Ecap (Fcap G)r) + Pl(Ecap (Fcap G^c)r)

Passo 4

Usando a definição de probabilidade condicionada em F, temos
P(Emid F) = P(Ecap F)P(F) = P(Ecap Fcap G)+P(Ecap Fcap G^c)P(F)

Passo 5

Agora escrevemos cada termo como produto de uma probabilidade condicionada pela probabilidade do condicionante:
P(Ecap Fcap G) = P(Emid Fcap G),P(Fcap G), P(Ecap Fcap G^c) = P(Emid Fcap G^c),P(Fcap G^c)
Substituindo na fração e lembrando que
P(Fcap G)/P(F)=P(Gmid F) e
P(Fcap G^c)/P(F)=P(G^cmid F), obtemos
P(Emid F) = P(Emid Fcap G),P(Gmid F) + P(Emid Fcap G^c),P(G^cmid F)

Resposta

boxed P(E mid F) = P(E mid F cap G),P(G mid F) + P(E mid F cap G^c),Pl(G^cmid Fr)

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