Questão 2: (1,5 pontos) Sabendo que f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x^{2}-1} & \text { se } x \neq 1 \\\ \frac{2 x+4 a}{3} & \text { se } x=1\end{array}\right. determine o valor de a para que a função seja contínua.

Passo 1

O enunciado fornece a função por partes
f(x)=\begin{cases} \dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x^{2}-1}, & \text{se } x\neq 1,\\[6pt] \dfrac{2x+4a}{3}, & \text{se } x=1. \end{cases}
O que a questão pede: determinar o valor de a para que a função seja contínua (em todo ponto, mas a única possível descontinuidade óbvia está em x=1).
Informações relevantes dadas:
  • Para x\neq 1 a expressão é \dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x^{2}-1}.
  • Para x=1 o valor da função é \dfrac{2\cdot 1 + 4a}{3}=\dfrac{2+4a}{3}.
  • A continuidade em x=1 exige que o limite da parte para x\neq1 quando x\to1 exista e seja igual a f(1).]

Passo 2

Lembrete do que significa ser contínuo em x=1: a função f é contínua em x=1 se, e somente se,
\lim_{x\to 1} f(x)=f(1).
Aqui f(1)=\dfrac{2+4a}{3} (valor dado pela definição em x=1). Portanto precisamos calcular \displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x^{2}-1} e igualá-lo a \dfrac{2+4a}{3}.

Passo 3

Calcular f(1) a partir da definição em x=1:
f(1)=\frac{2\cdot 1+4a}{3}=\frac{2+4a}{3}.

Passo 4

Calcular o limite \displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x^{2}-1}.
Primeiro note que a substituição direta dá forma indeterminada 0/0, pois
\sqrt{1+3}-2=2-2=0\quad\text{e}\quad 1^{2}-1=0.
Nesses casos é comum simplificar algebraicamente. Vamos racionalizar o numerador multiplicando numerador e denominador pela conjugada \sqrt{x+3}+2. Assim:
\frac{\sqrt{x+3}-2}{x^{2}-1} = \frac{(\sqrt{x+3}-2)(\sqrt{x+3}+2)}{(x^{2}-1)(\sqrt{x+3}+2)}.
O produto no numerador é uma diferença de quadrados:
(\sqrt{x+3}-2)(\sqrt{x+3}+2)=(\sqrt{x+3})^{2}-2^{2}=x+3-4=x-1.
Portanto
\frac{\sqrt{x+3}-2}{x^{2}-1} = \frac{x-1}{(x^{2}-1)\,(\sqrt{x+3}+2)}.
Agora use que x^{2}-1=(x-1)(x+1), então (para x\neq1) podemos cancelar o fator x-1:
\frac{x-1}{(x-1)(x+1)(\sqrt{x+3}+2)} = \frac{1}{(x+1)(\sqrt{x+3}+2)}.
Essa expressão é válida para x\neq1 e é contínua perto de x=1, então o limite quando x\to1 é obtido substituindo x=1:
\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x^{2}-1} = \frac{1}{(1+1)\,(\sqrt{1+3}+2)} = \frac{1}{2\cdot(2+2)} = \frac{1}{2\cdot 4} = \frac{1}{8}.
Observação didática curta: cancelar x-1 é permitido porque, ao calcular limite, trabalhamos com x próximos de 1 mas distintos de 1; portanto simplificações que não são válidas exatamente em x=1 são aceitáveis para encontrar o limite.

Passo 5

Impor a condição de continuidade em x=1: igualar o limite encontrado a f(1):
\frac{2+4a}{3}=\frac{1}{8}.
Resolver essa equação para a. Multiplicando ambos os lados por 24 (ou fazendo cross-multiplicação):
8(2+4a)=3\quad\Rightarrow\quad 16+32a=3.
Isolando a:
32a=3-16=-13\quad\Rightarrow\quad a=-\frac{13}{32}.

Passo 6

Conclusão e comentário rápido: com a=-\dfrac{13}{32} tem-se \displaystyle f(1)=\frac{2+4a}{3}=\frac{1}{8}, que coincide com \displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x^{2}-1}. Logo a função fica contínua em x=1 (e, portanto, contínua em todo ponto do domínio definido).

Resposta

-\dfrac{13}{32}

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