Questão 2: (1,5 pontos) Sabendo que f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x^{2}-1} & \text { se } x \neq 1 \\\ \frac{2 x+4 a}{3} & \text { se } x=1\end{array}\right. determine o valor de a para que a função seja contínua.
O que a questão pede: determinar o valor de a para que a função seja contínua (em todo ponto, mas a única possível descontinuidade óbvia está em x=1).
Informações relevantes dadas:
Para x\neq 1 a expressão é \dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x^{2}-1}.
Para x=1 o valor da função é \dfrac{2\cdot 1 + 4a}{3}=\dfrac{2+4a}{3}.
A continuidade em x=1 exige que o limite da parte para x\neq1 quando x\to1 exista e seja igual a f(1).]
Passo 2
Lembrete do que significa ser contínuo em x=1: a função f é contínua em x=1 se, e somente se,
\lim_{x\to 1} f(x)=f(1).
Aqui f(1)=\dfrac{2+4a}{3} (valor dado pela definição em x=1). Portanto precisamos calcular \displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x^{2}-1} e igualá-lo a \dfrac{2+4a}{3}.
Passo 3
Calcular f(1) a partir da definição em x=1:
f(1)=\frac{2\cdot 1+4a}{3}=\frac{2+4a}{3}.
Passo 4
Calcular o limite \displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x^{2}-1}.
Primeiro note que a substituição direta dá forma indeterminada 0/0, pois
\sqrt{1+3}-2=2-2=0\quad\text{e}\quad 1^{2}-1=0.
Nesses casos é comum simplificar algebraicamente. Vamos racionalizar o numerador multiplicando numerador e denominador pela conjugada \sqrt{x+3}+2. Assim:
Observação didática curta: cancelar x-1 é permitido porque, ao calcular limite, trabalhamos com x próximos de 1 mas distintos de 1; portanto simplificações que não são válidas exatamente em x=1 são aceitáveis para encontrar o limite.
Passo 5
Impor a condição de continuidade em x=1: igualar o limite encontrado a f(1):
\frac{2+4a}{3}=\frac{1}{8}.
Resolver essa equação para a. Multiplicando ambos os lados por 24 (ou fazendo cross-multiplicação):
Conclusão e comentário rápido: com a=-\dfrac{13}{32} tem-se \displaystyle f(1)=\frac{2+4a}{3}=\frac{1}{8}, que coincide com \displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x^{2}-1}. Logo a função fica contínua em x=1 (e, portanto, contínua em todo ponto do domínio definido).