Exercício 11. Determinar:
uma transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, tal que T\left(\mathbb{R}^{2}\right)=[(1,1,1),(1,2,0)].

Passo 1

O enunciado pede determinar uma transformação linear T: \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} tal que a imagem de T satisfaça
T(\mathbb{R}^{2}) = \operatorname{span}\{(1,1,1),(1,2,0)\}.
Informações dadas e objetivo explícito:
  • Dois vetores em \mathbb{R}^{3}: v_{1}=(1,1,1) e v_{2}=(1,2,0).
  • Queremos uma aplicação linear T com imagem exatamente o subespaço gerado por v_{1} e v_{2}.
  • Não foi pedido um T único; basta fornecer uma transformação linear que satisfaça essa propriedade.

Passo 2

Entendendo um princípio importante (aula curta): uma transformação linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} é completamente determinada pelas imagens de uma base de \mathbb{R}^{2}. A base padrão de \mathbb{R}^{2} é \mathbf{e}_1=(1,0) e \mathbf{e}_2=(0,1). Se eu definir T(\mathbf{e}_1) e T(\mathbf{e}_2) livremente, T fica determinada por linearidade:
T(x,y)=x\,T(\mathbf{e}_1)+y\,T(\mathbf{e}_2).
Portanto uma maneira natural de garantir que T(\mathbb{R}^{2})=\operatorname{span}\{v_1,v_2\} é escolher T(\mathbf{e}_1)=v_1 e T(\mathbf{e}_2)=v_2. Antes de aceitar essa escolha, preciso verificar uma coisa: v_1 e v_2 são linearmente independentes? Se forem, a imagem terá dimensão 2 (o máximo possível vindo de \mathbb{R}^2) e será exatamente o span pedido.

Passo 3

Testando a independência linear de v_1\) e \(v_2\). Procuro escalares \(a,b\) tais que \(a v_1 + b v_2 = (0,0,0)\). Escrevendo coordenadamente: \[a(1,1,1)+b(1,2,0)=(a+b,\;a+2b,\;a)=(0,0,0).
Isso gera o sistema
\begin{cases} a+b=0,\\[4pt] a+2b=0,\\[4pt] a=0. \end{cases}
Da terceira equação vem a=0\]. Substituindo \(a=0 na primeira dá b=0. Logo só a solução trivial existe, então v_1 e v_2 são linearmente independentes. Conclusão: \dim(\operatorname{span}\{v_1,v_2\})=2.]

Passo 4

Definição explícita da transformação: definir T mandando a base padrão para os vetores dados:
T(\mathbf{e}_1)=v_1=(1,1,1),\qquad T(\mathbf{e}_2)=v_2=(1,2,0).
Pela propriedade da linearidade, para um vetor arbitrário (x,y)\in\mathbb{R}^{2} temos
T(x,y)=x\,T(\mathbf{e}_1)+y\,T(\mathbf{e}_2)=x(1,1,1)+y(1,2,0).
Agora vou desenvolver componente a componente (isso é importante para saber como escrever na prova sem erro):
  • Primeira componente: x\cdot 1 + y\cdot 1 = x+y.
  • Segunda componente: x\cdot 1 + y\cdot 2 = x+2y.
  • Terceira componente: x\cdot 1 + y\cdot 0 = x.
Portanto
T(x,y)=(x+y,\;x+2y,\;x).

Passo 5

Mostrando que essa escolha realmente dá a imagem pedida. Primeiro, todo vetor da forma T(x,y) é uma combinação linear de v_1 e v_2 (pela definição), então
T(\mathbb{R}^{2})\subseteq\operatorname{span}\{v_1,v_2\}.
Por outro lado, qualquer vetor w\in\operatorname{span}\{v_1,v_2\} é da forma w= \alpha v_1+\beta v_2 para alguns \alpha,\beta\in\mathbb{R}. Mas então w=T(\alpha,\beta). Assim
\operatorname{span}\{v_1,v_2\}\subseteq T(\mathbb{R}^{2}).
Juntando as duas inclusões obtemos a igualdade desejada:
T(\mathbb{R}^{2})=\operatorname{span}\{v_1,v_2\}.

Passo 6

Matriz da transformação (útil para a prova): a matriz de T na base canônica de \mathbb{R}^{2} e \mathbb{R}^{3} tem colunas iguais às imagens de \mathbf{e}_1 e \mathbf{e}_2, logo
A=\begin{pmatrix} 1 & 1\\[4pt] 1 & 2\\[4pt] 1 & 0 \end{pmatrix},
de modo que para (x,y) coluna valendo \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} temos T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}. Como já vimos as colunas são independentes, \operatorname{rank}(A)=2, compatível com \dim(T(\mathbb{R}^2))=2.]

Passo 7

Observação final (motivacional e prática): essa construção é a mais direta — basta mandar a base de \mathbb{R}^2 para geradores do subespaço desejado. Existem muitas outras T com a mesma imagem (por exemplo trocar T(\mathbf{e}_1) e T(\mathbf{e}_2), ou mandar \mathbf{e}_1 e \mathbf{e}_2 para quaisquer combinações lineares que gerem o mesmo subespaço), mas a apresentada é simples de escrever e verificar na prova.

Resposta

\displaystyle T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3},\qquad T(x,y)=(x+y,\;x+2y,\;x)

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