Exercício 12. Sejam
espaço vetorial e
um operador linear idempotente, isto é,
.
Mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá: seja
um espaço vetorial e
um operador linear tal que
(isto é,
é idempotente). Pede-se para mostrar que
Informações relevantes que temos:
-
é o núcleo (kernel) de . -
é a imagem (range) de . - A condição
significa que, para todo , .
Passo 2
Vou lembrar o que significa a igualdade direta
. Por definição:
-
. - A soma direta
exige duas coisas: -
(a soma gera todo ); -
(a interseção é apenas o vetor zero).
Vou provar essas duas propriedades separadamente.
-
Passo 3
Prova de
.
Pegue um vetor arbitrário
. Considere os dois vetores
Observe que
porque, por definição,
é imagem de
. Agora mostro que
. Calculo
:
Como
é idempotente temos
. Então
Logo
. Mas então escrevemos
com
e
. Como
foi um vetor arbitrário de
, concluímos que todo vetor de
é soma de um elemento de
e um de
. Portanto
.
Passo 4
Prova de
.
Seja
. Então
, logo existe
tal que
. Por outro lado
, então
. Aplicando
à expressão
e usando idempotência:
Mas também
(porque
). Assim
. Isso mostra que a única possibilidade para um vetor na interseção é o vetor zero, ou seja,
Passo 5
Conclusão final: juntando Passo 3 e Passo 4 temos que a soma
é todo
e a interseção é apenas
. Por definição disso,
é a soma direta de
e
. Intuito geométrico rápido: um operador idempotente é uma projeção linear — ele deixa vetores em
fixos e manda para zero os vetores da direção
— por isso
se decompõe nessas duas partes complementares.