Exercício 12. Sejam V espaço vetorial e T: V \rightarrow V um operador linear idempotente, isto é, T^{2}=T.
Mostre que V=\mathcal{N}(T) \oplus T(V).

Passo 1

O enunciado dá: seja V um espaço vetorial e T:V\to V um operador linear tal que T^{2}=T (isto é, T é idempotente). Pede-se para mostrar que
V=\mathcal{N}(T)\oplus T(V).
Informações relevantes que temos:
  • \mathcal{N}(T)=\{v\in V \mid T(v)=0\} é o núcleo (kernel) de T.
  • T(V)=\{T(v)\mid v\in V\} é a imagem (range) de T.
  • A condição T^{2}=T significa que, para todo v\in V, T(T(v))=T(v).

Passo 2

Vou lembrar o que significa a igualdade direta V=\mathcal{N}(T)\oplus T(V). Por definição:
  • \mathcal{N}(T)+T(V)=\{u+w \mid u\in\mathcal{N}(T),\; w\in T(V)\}.
  • A soma direta \mathcal{N}(T)\oplus T(V) exige duas coisas:
    1. \mathcal{N}(T)+T(V)=V (a soma gera todo V);
    2. \mathcal{N}(T)\cap T(V)=\{0\} (a interseção é apenas o vetor zero).
      Vou provar essas duas propriedades separadamente.

Passo 3

Prova de \mathcal{N}(T)+T(V)=V.
Pegue um vetor arbitrário v\in V. Considere os dois vetores
u := v - T(v)\quad\text{e}\quad w := T(v).
Observe que w\in T(V) porque, por definição, w=T(v) é imagem de v. Agora mostro que u\in\mathcal{N}(T). Calculo T(u):
T(u)=T\bigl(v-T(v)\bigr)=T(v)-T\bigl(T(v)\bigr).
Como T é idempotente temos T(T(v))=T(v). Então
T(u)=T(v)-T(v)=0.
Logo u\in\mathcal{N}(T). Mas então escrevemos
v = u + w,
com u\in\mathcal{N}(T) e w\in T(V). Como v foi um vetor arbitrário de V, concluímos que todo vetor de V é soma de um elemento de \mathcal{N}(T) e um de T(V). Portanto \mathcal{N}(T)+T(V)=V.

Passo 4

Prova de \mathcal{N}(T)\cap T(V)=\{0\}.
Seja x\in\mathcal{N}(T)\cap T(V). Então x\in T(V), logo existe y\in V tal que x=T(y). Por outro lado x\in\mathcal{N}(T), então T(x)=0. Aplicando T à expressão x=T(y) e usando idempotência:
T(x)=T\bigl(T(y)\bigr)=T(y)=x.
Mas também T(x)=0 (porque x\in\mathcal{N}(T)). Assim x=0. Isso mostra que a única possibilidade para um vetor na interseção é o vetor zero, ou seja,
\mathcal{N}(T)\cap T(V)=\{0\}.

Passo 5

Conclusão final: juntando Passo 3 e Passo 4 temos que a soma \mathcal{N}(T)+T(V) é todo V e a interseção é apenas \{0\}. Por definição disso, V é a soma direta de \mathcal{N}(T) e T(V). Intuito geométrico rápido: um operador idempotente é uma projeção linear — ele deixa vetores em T(V) fixos e manda para zero os vetores da direção \mathcal{N}(T) — por isso V se decompõe nessas duas partes complementares.

Resposta

V=\mathcal{N}(T)\oplus T(V)

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