Exercício 11. Determinar:
uma transformação linear T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4}, tal que \mathcal{N}(T)=T\left(\mathbb{R}^{4}\right)=[(1,0,1,0),(0,1,0,1)].
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma transformação linear T: \mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{4} tal que o núcleo de T e a imagem de T coincidam e sejam o subespaço gerado pelos vetores (1,0,1,0) e (0,1,0,1).\n
Informações dadas:
Não há outras restrições explícitas além de T ser linear. O objetivo é construir T explicitamente (por exemplo, por sua fórmula ou por sua matriz em relação à base canônica) e verificar que \mathcal{N}(T) e T(\mathbb{R}^4) são exatamente esse subespaço.
Passo 2
Conceitos e ferramentas que vamos usar (explicados de forma didática):
Núcleo (ou núcleo) de uma transformação linear T, \mathcal{N}(T), é o conjunto de vetores v tais que T(v)=0. Em palavras: são os vetores que vão para zero.\n
Imagem de T, T(\mathbb{R}^4), é o conjunto de vetores que podem ser obtidos como T(v) para algum v\in\mathbb{R}^4. Em palavras: são todos os possíveis resultados de T.\n
Teorema posto: para uma transformação linear entre espaços finito-dimensionais vale a relação \dim(\mathcal{N}(T))+\operatorname{rank}(T)=\dim(\mathbb{R}^4)=4. Aqui \operatorname{rank}(T)=\dim(T(\mathbb{R}^4)).\n
Aplicando ao nosso caso: o subespaço pedido tem dimensão 2 (pois os dois vetores dados são linearmente independentes). Como queremos \mathcal{N}(T) com dimensão 2, pelo teorema da dimensão obtemos \operatorname{rank}(T)=2. Portanto é compatível: núcleo dimensão 2 e imagem dimensão 2. Isso significa que podemos procurar uma T cujo núcleo seja exatamente o subespaço W=\operatorname{span}\{u_1,u_2\} com u_1=(1,0,1,0) e u_2=(0,1,0,1), e cuja imagem seja também W.\n
Estratégia (explicada): escolher duas vetores w_1,w_2 que completem u_1,u_2 a uma base de \mathbb{R}^4. Definimos T(u_1)=0, T(u_2)=0 (para que W\subset\mathcal{N}(T)), e definimos T(w_1)=u_1, T(w_2)=u_2. Estendemos linearmente. Assim T terá núcleo contendo W, e como w_1,w_2 mapeiam para gerar W, a imagem será exatamente W. Precisamos só garantir que o núcleo não fique maior que W; isso acontece porque escolhemos w_1,w_2 de modo que \{u_1,u_2,w_1,w_2\} seja base de \mathbb{R}^4.
Passo 3
Escolha explicada e verificação de base: defina
u_1=(1,0,1,0),\qquad u_2=(0,1,0,1).
Escolho como vetores complementares da base os vetores canônicos
w_1=e_1=(1,0,0,0),\qquad w_2=e_2=(0,1,0,0).
Verifico rapidamente que \{u_1,u_2,w_1,w_2\} é uma base de \mathbb{R}^4. Para isso, suponha que exista relação
Agora quero escrever T em relação à base canônica \{e_1,e_2,e_3,e_4\}, pois isso facilita a apresentação da transformação (matriz ou fórmula). Usando u_1=e_1+e_3 e u_2=e_2+e_4 e as definições acima, obtenho:
Verificação rápida: coluna 1 é T(e_1)=(1,0,1,0)^\top, coluna 2 é T(e_2)=(0,1,0,1)^\top, coluna 3 é T(e_3)=(-1,0,-1,0)^\top, coluna 4 é T(e_4)=(0,-1,0,-1)^\top.]
Passo 6
Fórmula explícita da aplicação: para x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4 temos, por linearidade e pelas imagens das bases,