Exercício 11. Determinar:
uma transformação linear T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4}, tal que \mathcal{N}(T)=T\left(\mathbb{R}^{4}\right)=[(1,0,1,0),(0,1,0,1)].

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma transformação linear T: \mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{4} tal que o núcleo de T e a imagem de T coincidam e sejam o subespaço gerado pelos vetores (1,0,1,0) e (0,1,0,1).\n
Informações dadas:
\mathcal{N}(T)=T(\mathbb{R}^4)=\operatorname{span}\{(1,0,1,0),(0,1,0,1)\}.
Não há outras restrições explícitas além de T ser linear. O objetivo é construir T explicitamente (por exemplo, por sua fórmula ou por sua matriz em relação à base canônica) e verificar que \mathcal{N}(T) e T(\mathbb{R}^4) são exatamente esse subespaço.

Passo 2

Conceitos e ferramentas que vamos usar (explicados de forma didática):
  • Núcleo (ou núcleo) de uma transformação linear T, \mathcal{N}(T), é o conjunto de vetores v tais que T(v)=0. Em palavras: são os vetores que vão para zero.\n
  • Imagem de T, T(\mathbb{R}^4), é o conjunto de vetores que podem ser obtidos como T(v) para algum v\in\mathbb{R}^4. Em palavras: são todos os possíveis resultados de T.\n
  • Teorema posto: para uma transformação linear entre espaços finito-dimensionais vale a relação \dim(\mathcal{N}(T))+\operatorname{rank}(T)=\dim(\mathbb{R}^4)=4. Aqui \operatorname{rank}(T)=\dim(T(\mathbb{R}^4)).\n
    Aplicando ao nosso caso: o subespaço pedido tem dimensão 2 (pois os dois vetores dados são linearmente independentes). Como queremos \mathcal{N}(T) com dimensão 2, pelo teorema da dimensão obtemos \operatorname{rank}(T)=2. Portanto é compatível: núcleo dimensão 2 e imagem dimensão 2. Isso significa que podemos procurar uma T cujo núcleo seja exatamente o subespaço W=\operatorname{span}\{u_1,u_2\} com u_1=(1,0,1,0) e u_2=(0,1,0,1), e cuja imagem seja também W.\n
    Estratégia (explicada): escolher duas vetores w_1,w_2 que completem u_1,u_2 a uma base de \mathbb{R}^4. Definimos T(u_1)=0, T(u_2)=0 (para que W\subset\mathcal{N}(T)), e definimos T(w_1)=u_1, T(w_2)=u_2. Estendemos linearmente. Assim T terá núcleo contendo W, e como w_1,w_2 mapeiam para gerar W, a imagem será exatamente W. Precisamos só garantir que o núcleo não fique maior que W; isso acontece porque escolhemos w_1,w_2 de modo que \{u_1,u_2,w_1,w_2\} seja base de \mathbb{R}^4.

Passo 3

Escolha explicada e verificação de base: defina
u_1=(1,0,1,0),\qquad u_2=(0,1,0,1).
Escolho como vetores complementares da base os vetores canônicos
w_1=e_1=(1,0,0,0),\qquad w_2=e_2=(0,1,0,0).
Verifico rapidamente que \{u_1,u_2,w_1,w_2\} é uma base de \mathbb{R}^4. Para isso, suponha que exista relação
a u_1 + b u_2 + c w_1 + d w_2 = 0.
Escrevendo coordenadas:
a(1,0,1,0)+b(0,1,0,1)+c(1,0,0,0)+d(0,1,0,0)=(a+c,\;b+d,\;a,\;b)=(0,0,0,0).
Isto implica a=0, b=0, e então c=0, d=0. Logo os quatro vetores são linearmente independentes e formam uma base.

Passo 4

Defino T nos vetores dessa base e depois por linearidade em todo \mathbb{R}^4:
T(u_1)=0,\qquad T(u_2)=0,\qquad T(w_1)=u_1,\qquad T(w_2)=u_2.
Agora quero escrever T em relação à base canônica \{e_1,e_2,e_3,e_4\}, pois isso facilita a apresentação da transformação (matriz ou fórmula). Usando u_1=e_1+e_3 e u_2=e_2+e_4 e as definições acima, obtenho:
T(e_1)=T(w_1)=u_1=(1,0,1,0),
T(e_2)=T(w_2)=u_2=(0,1,0,1),
e porque u_1=e_1+e_3 e T(u_1)=0 segue
T(e_1)+T(e_3)=0 \implies T(e_3)=-T(e_1)=(-1,0,-1,0).
Analogamente, de u_2=e_2+e_4 e T(u_2)=0 segue
T(e_2)+T(e_4)=0 \implies T(e_4)=-T(e_2)=(0,-1,0,-1).

Passo 5

Matriz de T na base canônica: como as colunas da matriz são as imagens dos vetores e_1,e_2,e_3,e_4, a matriz A de T é
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -1\\[4pt] 1 & 0 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
Verificação rápida: coluna 1 é T(e_1)=(1,0,1,0)^\top, coluna 2 é T(e_2)=(0,1,0,1)^\top, coluna 3 é T(e_3)=(-1,0,-1,0)^\top, coluna 4 é T(e_4)=(0,-1,0,-1)^\top.]

Passo 6

Fórmula explícita da aplicação: para x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4 temos, por linearidade e pelas imagens das bases,
T(x)= (x_1-x_3)\,(1,0,1,0) + (x_2-x_4)\,(0,1,0,1).
Escrevendo coordenada a coordenada:
T(x)=(\,x_1-x_3,\;x_2-x_4,\;x_1-x_3,\;x_2-x_4\,).

Passo 7

Verificação do núcleo \mathcal{N}(T): temos T(x)=0 se e somente se
x_1-x_3=0\quad\text{e}\quad x_2-x_4=0,
ou seja x_1=x_3 e x_2=x_4. Portanto
\mathcal{N}(T)=\{(a,b,a,b)\mid a,b\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(1,0,1,0),(0,1,0,1)\},
que é exatamente o subespaço pedido.

Passo 8

Verificação da imagem T(\mathbb{R}^4): pela fórmula de T qualquer imagem é combinação linear de (1,0,1,0) e (0,1,0,1), logo
T(\mathbb{R}^4)=\operatorname{span}\{(1,0,1,0),(0,1,0,1)\}.
Portanto imagem e núcleo coincidem com o subespaço dado.

Resposta

T(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_1-x_3,\;x_2-x_4,\;x_1-x_3,\;x_2-x_4).

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