Exercício 10. Dadas as transformações lineares T: U \rightarrow V e S: V \rightarrow W, assinale (V) ou (F) nas seguintes afirmações
(a) se a transformação linear T \circ S é sobrejetora, então a transformação linear S é sobrejetora.
(b) se a transformação linear T \circ S é sobrejetora, então a transformação linear T é sobrejetora .
(c) se a transformação linear T \circ S é injetora, então a transformação linear S é injetora.
(d) se a transformação linear T \circ S é injetora, então a transformação linear T é injetora.

Passo 1

O enunciado pede para marcar (V) verdadeiro ou (F) falso para quatro afirmações sobre composições de transformações lineares. As informações relevantes são:
  • Temos espaços vetoriais U, V, W.
  • Para que a composição T\circ S faça sentido, assumimos que S: U \to V \qquad\text{e}\qquad T: V \to W.
  • As quatro afirmações são:
    (a) se \;T\circ S\; é sobrejetora, então \;S\; é sobrejetora;
    (b) se \;T\circ S\; é sobrejetora, então \;T\; é sobrejetora;
    (c) se \;T\circ S\; é injetora, então \;S\; é injetora;
    (d) se \;T\circ S\; é injetora, então \;T\; é injetora.

Passo 2

Vamos lembrar (e aprender direitinho) as definições que vamos usar — sem pular etapa, explicadinhas:
  • Definição de sobrejetora (ou “sobre”): uma transformação linear \;F:X\to Y\; é sobrejetora se, para todo y\in Y, existe pelo menos um x\in X tal que \;F(x)=y\;. Em palavras: a imagem de F é todo o espaço Y.
  • Definição de injetora (ou “injeção”): uma transformação linear \;F:X\to Y\; é injetora se, sempre que \;F(x_1)=F(x_2)\; então \;x_1=x_2. Outra maneira equivalente e muito usada para transformações lineares é: \;F\; é injetora se e só se \ker(F)=\{0\}, onde \ker(F)=\{x\in X\mid F(x)=0\}.
  • Composição: \;T\circ S: U\to W\; é definida por \;(T\circ S)(u)=T(S(u)). Propriedades úteis que usaremos:
    • Se (T\circ S) é sobrejetora, então para cada w\in W existe u\in U com T(S(u))=w.
    • Se (T\circ S) é injetora, então se (T\circ S)(u_1)=(T\circ S)(u_2) temos u_1=u_2.

Passo 3

Analisando a afirmação (a): “se \;T\circ S\; é sobrejetora, então \;S\; é sobrejetora.”
Intuição: a sobrejetividade de \;T\circ S\; garante que a combinação atinge todo W, mas não nos diz que S atinge todo V. Podemos construir um contraexemplo simples e concreto.
Contraexemplo explícito:
  • Tome \;U=\mathbb{R}, \;V=\mathbb{R}^2, \;W=\mathbb{R}.
  • Defina \;S: \mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 por S(t)=(t,0).A imagem de S é a reta \{(t,0)\mid t\in\mathbb{R}\}, que não é todo \mathbb{R}^2. Logo \;S\; não é sobrejetora.
  • Defina \;T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} por T(x,y)=x.Isto é linear e envia (x,y) para x.
  • Então a composição é (T\circ S)(t)=T(S(t))=T(t,0)=t.Assim \;T\circ S:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é a identidade em \mathbb{R}, portanto sobrejetora.
Conclusão para (a): aqui temos \;T\circ S\; sobrejetora, mas \;S\; não é sobrejetora. Logo a afirmação (a) é falsa.

Passo 4

Analisando a afirmação (b): “se \;T\circ S\; é sobrejetora, então \;T\; é sobrejetora.”
Prova direta e simples (sem truque): suponha \;T\circ S\; é sobrejetora. Então para todo w\in W existe u\in U tal que
T(S(u))=w.
Defina v=S(u). Note que v\in V. Pela igualdade acima temos T(v)=w. Portanto para cada w\in W encontramos um v\in V com T(v)=w. Isso é exatamente a definição de T ser sobrejetora. Não precisamos de nenhum exemplo: é uma implicação verdadeira em geral.
Conclusão para (b): a afirmação é verdadeira.

Passo 5

Analisando a afirmação (c): “se \;T\circ S\; é injetora, então \;S\; é injetora.”
Prova direta: suponha \;T\circ S\; é injetora. Tome u_1,u_2\in U tais que S(u_1)=S(u_2). Aplicando T em ambos os lados obtemos
T(S(u_1))=T(S(u_2))
ou seja
(T\circ S)(u_1)=(T\circ S)(u_2).
Como T\circ S é injetora, disso segue u_1=u_2. Portanto S é injetora (porque sempre que S(u_1)=S(u_2) temos u_1=u_2). Alternativamente, em linguagem de núcleo: \ker(S)\subseteq\ker(T\circ S), e se \ker(T\circ S)=\{0\} então \ker(S)=\{0\}.
Conclusão para (c): a afirmação é verdadeira.

Passo 6

Analisando a afirmação (d): “se \;T\circ S\; é injetora, então \;T\; é injetora.”
Intuição: não é necessário que T seja injetora em todo V; basta que T seja injetora quando restrita à subimagem S(U). Podemos dar um contraexemplo simples.
Contraexemplo explícito:
  • Tome \;U=\mathbb{R}, \;V=\mathbb{R}^2, \;W=\mathbb{R}.
  • Defina \;S:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 por S(t)=(t,t).A imagem de S é a reta \{(t,t)\mid t\in\mathbb{R}\}.
  • Defina \;T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} por T(x,y)=x.Note que T não é injetora: por exemplo T(0,1)=0=T(0,0) mas (0,1)\neq(0,0); o kernel de T é a reta \{(0,y)\}, não apenas \{0\}.
  • Agora calcule a composição: (T\circ S)(t)=T(t,t)=t.Assim T\circ S é a identidade em \mathbb{R}, logo injetora.
Portanto temos um caso em que \;T\circ S\; é injetora, mas \;T\; não é injetora.
Conclusão para (d): a afirmação é falsa.

Passo 7

Resumo do raciocínio (sem repetir demais): (a) falso por contraexemplo em que a imagem de S é menor que V mas ainda assim T envia essa imagem sobre W; (b) verdadeiro por argumento direto; (c) verdadeiro por argumento direto usando injetividade da composição; (d) falso por contraexemplo em que T falha ser injetora fora da imagem de S mas é injetora quando restrita à imagem de S.

Resposta

(a) F
(b) V
(c) V
(d) F

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