Exercício 10. Dadas as transformações lineares
e
, assinale (V) ou (F) nas seguintes afirmações
(a) se a transformação linear
é sobrejetora, então a transformação linear
é sobrejetora.
(b) se a transformação linear
é sobrejetora, então a transformação linear
é sobrejetora .
(c) se a transformação linear
é injetora, então a transformação linear
é injetora.
(d) se a transformação linear
é injetora, então a transformação linear
é injetora.
(a) se a transformação linear
(b) se a transformação linear
(c) se a transformação linear
(d) se a transformação linear
Passo 1
O enunciado pede para marcar (V) verdadeiro ou (F) falso para quatro afirmações sobre composições de transformações lineares. As informações relevantes são:
- Temos espaços vetoriais
, , . - Para que a composição
faça sentido, assumimos que - As quatro afirmações são:
(a) seé sobrejetora, então é sobrejetora;
(b) seé sobrejetora, então é sobrejetora;
(c) seé injetora, então é injetora;
(d) seé injetora, então é injetora.
Passo 2
Vamos lembrar (e aprender direitinho) as definições que vamos usar — sem pular etapa, explicadinhas:
-
Definição de sobrejetora (ou “sobre”): uma transformação linear
é sobrejetora se, para todo , existe pelo menos um tal que . Em palavras: a imagem de é todo o espaço . -
Definição de injetora (ou “injeção”): uma transformação linear
é injetora se, sempre que então . Outra maneira equivalente e muito usada para transformações lineares é: é injetora se e só se , onde . -
Composição:
é definida por . Propriedades úteis que usaremos: - Se
é sobrejetora, então para cada existe com . - Se
é injetora, então se temos .
- Se
Passo 3
Analisando a afirmação (a): “se
é sobrejetora, então
é sobrejetora.”
Intuição: a sobrejetividade de
garante que a combinação atinge todo
, mas não nos diz que
atinge todo
. Podemos construir um contraexemplo simples e concreto.
Contraexemplo explícito:
- Tome
, , . - Defina
por A imagem de é a reta , que não é todo . Logo não é sobrejetora. - Defina
por Isto é linear e envia para . - Então a composição é
Assim é a identidade em , portanto sobrejetora.
Conclusão para (a): aqui temos
sobrejetora, mas
não é sobrejetora. Logo a afirmação (a) é falsa.
Passo 4
Analisando a afirmação (b): “se
é sobrejetora, então
é sobrejetora.”
Prova direta e simples (sem truque): suponha
é sobrejetora. Então para todo
existe
tal que
Defina
. Note que
. Pela igualdade acima temos
. Portanto para cada
encontramos um
com
. Isso é exatamente a definição de
ser sobrejetora. Não precisamos de nenhum exemplo: é uma implicação verdadeira em geral.
Conclusão para (b): a afirmação é verdadeira.
Passo 5
Analisando a afirmação (c): “se
é injetora, então
é injetora.”
Prova direta: suponha
é injetora. Tome
tais que
. Aplicando
em ambos os lados obtemos
ou seja
Como
é injetora, disso segue
. Portanto
é injetora (porque sempre que
temos
). Alternativamente, em linguagem de núcleo:
, e se
então
.
Conclusão para (c): a afirmação é verdadeira.
Passo 6
Analisando a afirmação (d): “se
é injetora, então
é injetora.”
Intuição: não é necessário que
seja injetora em todo
; basta que
seja injetora quando restrita à subimagem
. Podemos dar um contraexemplo simples.
Contraexemplo explícito:
- Tome
, , . - Defina
por A imagem de é a reta . - Defina
por Note que não é injetora: por exemplo mas ; o kernel de é a reta , não apenas . - Agora calcule a composição:
Assim é a identidade em , logo injetora.
Portanto temos um caso em que
é injetora, mas
não é injetora.
Conclusão para (d): a afirmação é falsa.
Passo 7
Resumo do raciocínio (sem repetir demais): (a) falso por contraexemplo em que a imagem de
é menor que
mas ainda assim
envia essa imagem sobre
; (b) verdadeiro por argumento direto; (c) verdadeiro por argumento direto usando injetividade da composição; (d) falso por contraexemplo em que
falha ser injetora fora da imagem de
mas é injetora quando restrita à imagem de
.
Resposta
(a) F
(b) V
(c) V
(d) F
(b) V
(c) V
(d) F