Exercício 9. Determine os quatro menores números positivos
tais que:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- O enunciado pede: determinar os quatro menores números positivos
tais que . - Informação dada: a equação trigonométrica
. Não há outras restrições além de .
Passo 2
Entendendo a propriedade que vamos usar (explicação didática):
- A função
é periódica de período . Isso significa que, se , então também para qualquer . Em palavras: ao somar ou subtrair múltiplos inteiros de o valor do seno se repete. - Geometricamente,
corresponde à coordenada vertical (ordem ) de um ponto na circunferência unitária associado ao ângulo . O valor ocorre quando esse ponto está exatamente embaixo do centro, ou seja, na posição de ordenada . - Os ângulos na circunferência unitária que têm ordenada
são congruentes com o ângulo (ou equivalentemente ). Portanto há uma família infinita de soluções obtidas somando .
Passo 3
Formulação da solução geral usando a propriedade anterior:
- Um valor particular é
, pois . - Pela periodicidade de período
, todas as soluções são
- Podemos reescrever essa família de soluções num formato equivalente e às vezes mais compacto. Somando as frações:
Assim outra forma útil é
Passo 4
Escolhendo os quatro menores
:
- Queremos os quatro menores valores positivos. Então escolhemos valores inteiros de
que tornem positivo e pequenos. - Para
temos
- Para
temos
- Para
temos
- Para
temos
- Verificação rápida de ordem:
, logo são os quatro menores positivos.