Exercício 9. Determine os quatro menores números positivos x \in \mathbb{R} tais que:
\operatorname{sen} x=-1

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • O enunciado pede: determinar os quatro menores números positivos x\in\mathbb{R} tais que \operatorname{sen} x = -1.
  • Informação dada: a equação trigonométrica \operatorname{sen} x = -1. Não há outras restrições além de x>0.

Passo 2

Entendendo a propriedade que vamos usar (explicação didática):
  • A função \operatorname{sen} x é periódica de período 2\pi. Isso significa que, se \operatorname{sen} a = y, então também \operatorname{sen}(a+2\pi k)=y para qualquer k\in\mathbb{Z}. Em palavras: ao somar ou subtrair múltiplos inteiros de 2\pi o valor do seno se repete.
  • Geometricamente, \operatorname{sen} x corresponde à coordenada vertical (ordem y) de um ponto na circunferência unitária associado ao ângulo x. O valor \operatorname{sen} x=-1 ocorre quando esse ponto está exatamente embaixo do centro, ou seja, na posição de ordenada -1.
  • Os ângulos na circunferência unitária que têm ordenada -1 são congruentes com o ângulo \dfrac{3\pi}{2} (ou equivalentemente -\dfrac{\pi}{2}). Portanto há uma família infinita de soluções obtidas somando 2\pi k.

Passo 3

Formulação da solução geral usando a propriedade anterior:
  • Um valor particular é x=\dfrac{3\pi}{2}, pois \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=-1.
  • Pela periodicidade de período 2\pi, todas as soluções são
x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k,\qquad k\in\mathbb{Z}.
  • Podemos reescrever essa família de soluções num formato equivalente e às vezes mais compacto. Somando as frações:
\frac{3\pi}{2}+2\pi k = \frac{3\pi}{2}+\frac{4\pi k}{2}=\frac{(4k+3)\pi}{2}.
Assim outra forma útil é
x=\frac{(4k+3)\pi}{2},\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Escolhendo os quatro menores x>0:
  • Queremos os quatro menores valores positivos. Então escolhemos valores inteiros de k que tornem x positivo e pequenos.
  • Para k=0 temos
x_1=\frac{(4\cdot 0+3)\pi}{2}=\frac{3\pi}{2}.
  • Para k=1 temos
x_2=\frac{(4\cdot 1+3)\pi}{2}=\frac{7\pi}{2}.
  • Para k=2 temos
x_3=\frac{(4\cdot 2+3)\pi}{2}=\frac{11\pi}{2}.
  • Para k=3 temos
x_4=\frac{(4\cdot 3+3)\pi}{2}=\frac{15\pi}{2}.
  • Verificação rápida de ordem: \dfrac{3\pi}{2}<\dfrac{7\pi}{2}<\dfrac{11\pi}{2}<\dfrac{15\pi}{2}, logo são os quatro menores positivos.

Resposta

\dfrac{3\pi}{2}
\dfrac{7\pi}{2}
\dfrac{11\pi}{2}
\dfrac{15\pi}{2}

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