Exercício 11. Determine o domínio máximo e esboce o gráfico das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a função
:
- Determinar o domínio máximo de definição de
. - Esboçar (descrever) o gráfico de
.
Informações dadas diretamente no enunciado:
- A função é
.
Passo 2
Entender onde
está definida (isso é necessário para o domínio de
).
Lembrando a definição da tangente:
Essa razão só faz sentido quando o denominador
não é zero. Portanto, os pontos a excluir são exatamente os zeros de
.
Os zeros de
ocorrem em
pois
. Logo,
(e portanto
) NÃO está definida nesses pontos.
Passo 3
Concluir o domínio máximo de
.
Como
está definida exatamente quando
está definida, o domínio máximo é
Passo 4
Estudar periodicidade e simetrias para ajudar no esboço do gráfico.
Propriedade de período da tangente:
logo
tem período
. Portanto
ou seja,
tem período
.
Simetria (paridade): como
, tem-se
logo
é função par (simétrica em relação ao eixo
).
Essas duas informações já dizem que o comportamento em um intervalo de comprimento
determina todo o gráfico por repetições e reflexões.
Passo 5
Analisar comportamento entre assíntotas (no intervalo padrão) e valores notáveis para guiar o esboço.
Escolhemos o intervalo central entre duas assíntotas:
No interior desse intervalo,
é contínua e estritamente crescente, com
Aplicando o valor absoluto, os limites nas assíntotas tornam-se
ou seja, há assíntotas verticais em
e o gráfico tende a
ao aproximar-se de cada assíntota por qualquer lado.
No centro do intervalo, em
,
. Mais geralmente, os zeros de
ocorrem em
pois
.
Assim, em
o gráfico de
desce de
(próximo de
) até
em
e sobe de novo para
(próximo de
). É uma “curva em U invertida com fundo no zero”, não uma parábola, mais estreita perto do centro e com crescimento vertical perto das assíntotas.
Passo 6
Comportamento local nos pontos importantes (derivabilidade, formato em torno de zeros).
No ponto
Assim, nas imediações de
e à esquerda é
. Logo
tem um “canto” (não é diferenciável) em cada zero
: a inclinação troca de
para
atravessando o zero (isso é válido porque
).]
Passo 7
Valores de referência para desenhar sem calculadora (exemplos numéricos simples).
Alguns pontos fáceis no intervalo
:
Esses pontos ajudam a posicionar a curva entre zero e a assíntota.
Passo 8
Instruções práticas para esboçar o gráfico em uma folha (passo a passo visual).
- Marque as assíntotas verticais:
(linhas pontilhadas). - Marque os zeros em
. - No intervalo
desenhe uma curva que: - tende a
ao aproximar-se das bordas do intervalo (assíntotas), - atinge o mínimo
em , - é simétrica em torno de
(por periodicidade e paridade).
- tende a
- Repita o padrão para todos os
(por período ). - Observe que nos pontos
há um canto (não é suave): inclinação à esquerda , à direita localmente.
Resposta
Domínio:
Esboço (descrição): assíntotas verticais em
; zeros em
; em cada intervalo
a curva desce de
até
em
e sobe para
; função periódica de período
e par; não diferenciável em
.