Exercício 11. Determine o domínio máximo e esboce o gráfico das funções abaixo.
f(x)=|\operatorname{tg}(x)|

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a função f(x)=|\operatorname{tg}(x)|:
  • Determinar o domínio máximo de definição de f.
  • Esboçar (descrever) o gráfico de f.
Informações dadas diretamente no enunciado:
  • A função é f(x)=|\operatorname{tg}(x)|.

Passo 2

Entender onde \operatorname{tg}(x) está definida (isso é necessário para o domínio de f).
Lembrando a definição da tangente:
\operatorname{tg}(x)=\frac{\sin x}{\cos x}.
Essa razão só faz sentido quando o denominador \cos x não é zero. Portanto, os pontos a excluir são exatamente os zeros de \cos x.
Os zeros de \cos x ocorrem em
x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z},
pois \cos\!\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right)=0. Logo, \operatorname{tg}(x) (e portanto |\operatorname{tg}(x)|) NÃO está definida nesses pontos.

Passo 3

Concluir o domínio máximo de f.
Como |\operatorname{tg}(x)| está definida exatamente quando \operatorname{tg}(x) está definida, o domínio máximo é
\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi:\;k\in\mathbb{Z}\right\}.

Passo 4

Estudar periodicidade e simetrias para ajudar no esboço do gráfico.
Propriedade de período da tangente:
\operatorname{tg}(x+\pi)=\frac{\sin(x+\pi)}{\cos(x+\pi)}=\frac{-\sin x}{-\cos x}=\operatorname{tg}(x),
logo \operatorname{tg} tem período \pi. Portanto
|\operatorname{tg}(x+\pi)|=|\operatorname{tg}(x)|,
ou seja, f tem período \pi.
Simetria (paridade): como \operatorname{tg}(-x)=-\operatorname{tg}(x), tem-se
|\operatorname{tg}(-x)|=|-\operatorname{tg}(x)|=|\operatorname{tg}(x)|,
logo f é função par (simétrica em relação ao eixo y).
Essas duas informações já dizem que o comportamento em um intervalo de comprimento \pi determina todo o gráfico por repetições e reflexões.

Passo 5

Analisar comportamento entre assíntotas (no intervalo padrão) e valores notáveis para guiar o esboço.
Escolhemos o intervalo central entre duas assíntotas:
\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right).
No interior desse intervalo, \operatorname{tg} é contínua e estritamente crescente, com
\lim_{x\to-\frac{\pi}{2}^+}\operatorname{tg}(x)=-\infty,\qquad \operatorname{tg}(0)=0,\qquad \lim_{x\to\frac{\pi}{2}^-}\operatorname{tg}(x)=+\infty.
Aplicando o valor absoluto, os limites nas assíntotas tornam-se
\lim_{x\to\pm\frac{\pi}{2}^\mp}|\operatorname{tg}(x)|=+\infty,
ou seja, há assíntotas verticais em x=\frac{\pi}{2}+k\pi e o gráfico tende a +\infty ao aproximar-se de cada assíntota por qualquer lado.
No centro do intervalo, em x=0, |\operatorname{tg}(0)|=0. Mais geralmente, os zeros de f ocorrem em
x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z},
pois \operatorname{tg}(k\pi)=0.
Assim, em \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) o gráfico de |\operatorname{tg}(x)| desce de +\infty (próximo de -\frac{\pi}{2}) até 0 em x=0 e sobe de novo para +\infty (próximo de \frac{\pi}{2}). É uma “curva em U invertida com fundo no zero”, não uma parábola, mais estreita perto do centro e com crescimento vertical perto das assíntotas.

Passo 6

Comportamento local nos pontos importantes (derivabilidade, formato em torno de zeros).
No ponto x=k\pi\) temos \(\operatorname{tg}(k\pi)=0\). A derivada de \(\operatorname{tg}\) é \(\operatorname{sec}^2 x\) (onde definida), e \(\operatorname{sec}^2(k\pi)=1\). Para a função valor absoluto, próximo de um zero \(x_0\) de \(\operatorname{tg}\) vale a ideia: \[|\operatorname{tg}(x)| = \begin{cases} \operatorname{tg}(x), & \text{se }\operatorname{tg}(x)\ge 0,\\[4pt] -\operatorname{tg}(x), & \text{se }\operatorname{tg}(x)<0. \end{cases}
Assim, nas imediações de x=k\pi\] a derivada da parte à direita é \(+\operatorname{sec}^2(k\pi)=+1 e à esquerda é -\operatorname{sec}^2(k\pi)=-1. Logo f tem um “canto” (não é diferenciável) em cada zero x=k\pi: a inclinação troca de -1 para +1 atravessando o zero (isso é válido porque \operatorname{sec}^2(k\pi)=1).]

Passo 7

Valores de referência para desenhar sem calculadora (exemplos numéricos simples).
Alguns pontos fáceis no intervalo [0,\frac{\pi}{2}):
\operatorname{tg}(0)=0\Rightarrow f(0)=0;
\operatorname{tg}\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow f\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0{,}577;
\operatorname{tg}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=1\Rightarrow f\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=1;
\operatorname{tg}\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}\Rightarrow f\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}\approx 1{,}732.
Esses pontos ajudam a posicionar a curva entre zero e a assíntota.

Passo 8

Instruções práticas para esboçar o gráfico em uma folha (passo a passo visual).
  1. Marque as assíntotas verticais: x=\frac{\pi}{2}+k\pi (linhas pontilhadas).
  2. Marque os zeros em x=k\pi.
  3. No intervalo \left(k\pi-\frac{\pi}{2},k\pi+\frac{\pi}{2}\right) desenhe uma curva que:
    • tende a +\infty ao aproximar-se das bordas do intervalo (assíntotas),
    • atinge o mínimo 0 em x=k\pi,
    • é simétrica em torno de x=k\pi (por periodicidade e paridade).
  4. Repita o padrão para todos os k (por período \pi).
  5. Observe que nos pontos x=k\pi há um canto (não é suave): inclinação à esquerda -1, à direita +1 localmente.

Resposta

Domínio: \displaystyle \mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi:\;k\in\mathbb{Z}\right\}
Esboço (descrição): assíntotas verticais em x=\frac{\pi}{2}+k\pi; zeros em x=k\pi; em cada intervalo \left(k\pi-\frac{\pi}{2},\,k\pi+\frac{\pi}{2}\right) a curva desce de +\infty até 0 em x=k\pi e sobe para +\infty; função periódica de período \pi e par; não diferenciável em x=k\pi.

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