Exercício 11. Determine o domínio máximo e esboce o gráfico das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) determinar o domínio máximo da função
e (ii) esboçar o gráfico de
. A função dada é
Informações relevantes fornecidas: a função é a tangente aplicada ao argumento
. Não há outros dados numéricos adicionais no enunciado.
Passo 2
Vamos lembrar (aula rápida) quando a função tangente está definida. A função
é definida para todo
exceto quando
porque nesses pontos
e
fica indefinida (vertical assimptota). Isso significa: para qualquer função da forma
devemos exigir
.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso, coloque
. A condição de indefinição é
Agora vamos resolver essa equação para
.
Passo 4
Resolver a equação passo a passo:
somando
em ambos os lados:
Dividindo por
:
Portanto a tangente é indefinida exatamente nesses
. Note que, variando
,
percorre todos os inteiros, então podemos reescrever como
com
.
Passo 5
Logo o domínio máximo é todos os reais, exceto os pontos
. Em notação:
Também podemos escrever o domínio como união de intervalos abertos entre as assimptotas:
Passo 6
Agora propriedades úteis para o esboço: a tangente tem período
em seu argumento
. Como
e a multiplicação por
comprime o período por
, o período em
é
Ou seja, o gráfico se repete a cada
ao longo do eixo
.
Passo 7
Encontre zeros e alguns pontos-chave (ajuda a desenhar): zeros ocorrem quando o argumento
é múltiplo de
:
Exemplos num intervalo principal
:
- Assimptotas verticais em
e . - Zero em
com . - Pontos auxiliares:
dá argumento , logo .
dá argumento , logo .
Passo 8
Monotonicidade e comportamento nas assimptotas: calcule a derivada (rápido motivo)
Como
é sempre positivo onde definida,
em cada intervalo do domínio; logo
é estritamente crescente entre duas assimptotas. Isso implica o comportamento clássico da tangente: em cada intervalo
a função sobe de
(próximo da assimptota esquerda) para
(próximo da assimptota direita), cruzando o eixo
no zero do intervalo.
Passo 9
Instruções práticas para esboçar no tempo de prova (o truque):
- Trace linhas verticais pontilhadas em
(essas são as assimptotas). - Em cada intervalo entre duas assimptotas desenhe uma curva que cresce de
para , cruzando o eixo em . - Marque os pontos
e no intervalo para posicionar a curva corretamente; repita esse padrão com período para os demais intervalos. - Lembre que a função é ímpar em relação ao ponto central de cada intervalo simetricamente, e é sempre crescente em cada intervalo.
Resposta
Domínio máximo:
Esboço: curvas periódicas de período com assimptotas verticais em
; em cada intervalo
a função é estritamente crescente de
a
, cruzando o eixo em
.
Esboço: curvas periódicas de período