Exercício 11. Determine o domínio máximo e esboce o gráfico das funções abaixo.
f(x)=\operatorname{tg}\left(2 x-\frac{\pi}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) determinar o domínio máximo da função f e (ii) esboçar o gráfico de f. A função dada é
f(x)=\operatorname{tg}\!\left(2x-\frac{\pi}{2}\right).
Informações relevantes fornecidas: a função é a tangente aplicada ao argumento 2x-\tfrac{\pi}{2}. Não há outros dados numéricos adicionais no enunciado.

Passo 2

Vamos lembrar (aula rápida) quando a função tangente está definida. A função \operatorname{tg}(u) é definida para todo u\in\mathbb{R} exceto quando
u=\frac{\pi}{2}+k\pi\qquad(k\in\mathbb{Z}),
porque nesses pontos \cos u=0 e \operatorname{tg}u=\dfrac{\sin u}{\cos u} fica indefinida (vertical assimptota). Isso significa: para qualquer função da forma \operatorname{tg}(g(x)) devemos exigir g(x)\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, coloque u=2x-\dfrac{\pi}{2}. A condição de indefinição é
2x-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Agora vamos resolver essa equação para x.

Passo 4

Resolver a equação passo a passo:
2x-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}+k\pi
somando \dfrac{\pi}{2} em ambos os lados:
2x=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}+k\pi=\pi+k\pi=(k+1)\pi.
Dividindo por 2:
x=\frac{(k+1)\pi}{2},\qquad k\in\mathbb{Z}.
Portanto a tangente é indefinida exatamente nesses x. Note que, variando k, (k+1) percorre todos os inteiros, então podemos reescrever como x=\dfrac{n\pi}{2} com n\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Logo o domínio máximo é todos os reais, exceto os pontos x=\dfrac{n\pi}{2}. Em notação:
\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{n\pi}{2}\;:\;n\in\mathbb{Z}\right\}.
Também podemos escrever o domínio como união de intervalos abertos entre as assimptotas:
\mathcal{D}=\bigcup_{n\in\mathbb{Z}}\left(\frac{n\pi}{2},\frac{(n+1)\pi}{2}\right).

Passo 6

Agora propriedades úteis para o esboço: a tangente tem período \pi em seu argumento u. Como u=2x-\tfrac{\pi}{2} e a multiplicação por 2 comprime o período por 2, o período em x é
T=\frac{\pi}{2}.
Ou seja, o gráfico se repete a cada \dfrac{\pi}{2} ao longo do eixo x.

Passo 7

Encontre zeros e alguns pontos-chave (ajuda a desenhar): zeros ocorrem quando o argumento u é múltiplo de \pi:
2x-\frac{\pi}{2}=k\pi \quad\Rightarrow\quad x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\qquad k\in\mathbb{Z}.
Exemplos num intervalo principal \left(0,\frac{\pi}{2}\right):
  • Assimptotas verticais em x=0 e x=\dfrac{\pi}{2}.
  • Zero em x=\dfrac{\pi}{4} com f\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=0.
  • Pontos auxiliares: x=\dfrac{\pi}{8} dá argumento 2\cdot\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{\pi}{2}=-\dfrac{\pi}{4}, logo f\!\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\operatorname{tg}\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-1.
    x=\dfrac{3\pi}{8} dá argumento +\dfrac{\pi}{4}, logo f\!\left(\dfrac{3\pi}{8}\right)=1.

Passo 8

Monotonicidade e comportamento nas assimptotas: calcule a derivada (rápido motivo)
f'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{tg}\!\left(2x-\frac{\pi}{2}\right) =2\operatorname{sec}^2\!\left(2x-\frac{\pi}{2}\right).
Como \operatorname{sec}^2 é sempre positivo onde definida, f'(x)>0 em cada intervalo do domínio; logo f é estritamente crescente entre duas assimptotas. Isso implica o comportamento clássico da tangente: em cada intervalo \left(\dfrac{n\pi}{2},\dfrac{(n+1)\pi}{2}\right) a função sobe de -\infty (próximo da assimptota esquerda) para +\infty (próximo da assimptota direita), cruzando o eixo x no zero do intervalo.

Passo 9

Instruções práticas para esboçar no tempo de prova (o truque):
  • Trace linhas verticais pontilhadas em x=\dfrac{n\pi}{2} (essas são as assimptotas).
  • Em cada intervalo entre duas assimptotas desenhe uma curva que cresce de -\infty para +\infty, cruzando o eixo x em x=\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2}.
  • Marque os pontos \left(\dfrac{\pi}{8},-1\right) e \left(\dfrac{3\pi}{8},1\right) no intervalo \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right) para posicionar a curva corretamente; repita esse padrão com período \dfrac{\pi}{2} para os demais intervalos.
  • Lembre que a função é ímpar em relação ao ponto central de cada intervalo simetricamente, e é sempre crescente em cada intervalo.

Resposta

Domínio máximo: \mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{n\pi}{2}\;:\;n\in\mathbb{Z}\right\}.
Esboço: curvas periódicas de período \dfrac{\pi}{2} com assimptotas verticais em x=\dfrac{n\pi}{2}; em cada intervalo \left(\dfrac{n\pi}{2},\dfrac{(n+1)\pi}{2}\right) a função é estritamente crescente de -\infty a +\infty, cruzando o eixo em x=\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2}.

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