Exercício 11. Determine os intervalos em que as seguintes funções são crescentes e os intervalos em que elas são decrescentes:
dada por
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
O que se pede:
- Determinar os intervalos nos quais
é crescente. - Determinar os intervalos nos quais
é decrescente.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Domínio:
. - A expressão explícita de
está disponível para diferenciar.
Passo 2
Vamos lembrar a ferramenta padrão para este tipo de problema (aqui vai uma mini-aula):
- Derivada e monotonicidade: se
é diferenciável num intervalo e para todo nesse intervalo, então é estritamente crescente nesse intervalo. Se para todo no intervalo, então é estritamente decrescente nesse intervalo. - Regra de derivação que vamos usar: para uma função composta
vale
Aqui cada símbolo significa:
-
é a função interna (no nosso caso ), -
é a derivada de , -
é a exponencial de .
Passo 3
Calcular a derivada de
passo a passo.
- Escrevendo
. A derivada de é . - Para
aplicamos a regra da cadeia com . Temos , então
- Como há um sinal negativo na frente, a derivada de
é
Portanto, em bloco,
Passo 4
Analisar o sinal de
.
- Propriedade da exponencial: para todo número real
vale . - Aplicando com
, obtemos para todo . - Como
, segue que
Passo 5
Interpretação pelo critério de monotonicidade:
- Já que
em todo o domínio , pela propriedade do passo 2 isso significa que é estritamente crescente em qualquer intervalo onde está definida (aqui, em todo ). - Consequentemente, não existem intervalos onde
seja estritamente decrescente.
Passo 6
Uma outra maneira de ver a monotonicidade sem derivada (apenas para intuição ou caso não seja pedido derivar) é comparar valores: para
,
Como
dá
, segue
. E
. Logo
, ou seja,
sempre que
. Isso confirma que
é crescente em
.
Resposta
Crescente:
é estritamente crescente em
.
Decrescente:
não é decrescente em nenhum intervalo.