Exercício 11. Determine os intervalos em que as seguintes funções são crescentes e os intervalos em que elas são decrescentes:
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=2-e^{-x}

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por
f(x)=2-e^{-x}.
O que se pede:
  • Determinar os intervalos nos quais f é crescente.
  • Determinar os intervalos nos quais f é decrescente.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Domínio: \mathbb{R}.
  • A expressão explícita de f(x) está disponível para diferenciar.

Passo 2

Vamos lembrar a ferramenta padrão para este tipo de problema (aqui vai uma mini-aula):
  • Derivada e monotonicidade: se f é diferenciável num intervalo e f'(x)>0 para todo x nesse intervalo, então f é estritamente crescente nesse intervalo. Se f'(x)<0 para todo x no intervalo, então f é estritamente decrescente nesse intervalo.
  • Regra de derivação que vamos usar: para uma função composta g(x)=e^{u(x)} vale
g'(x)=u'(x)e^{u(x)}.
Aqui cada símbolo significa:
  • u(x) é a função interna (no nosso caso u(x)=-x),
  • u'(x) é a derivada de u,
  • e^{u(x)} é a exponencial de u(x).

Passo 3

Calcular a derivada de f passo a passo.
  • Escrevendo f(x)=2 - e^{-x}. A derivada de 2 é 0.
  • Para e^{-x} aplicamos a regra da cadeia com u(x)=-x. Temos u'(x)=-1, então
\frac{d}{dx}e^{-x}=(-1)e^{-x}=-e^{-x}.
  • Como há um sinal negativo na frente, a derivada de -e^{-x} é
\frac{d}{dx}\bigl(-e^{-x}\bigr) = -\bigl(-e^{-x}\bigr)=e^{-x}.
Portanto, em bloco,
f'(x)=e^{-x}.

Passo 4

Analisar o sinal de f'(x).
  • Propriedade da exponencial: para todo número real t vale e^{t}>0.
  • Aplicando com t=-x, obtemos e^{-x}>0 para todo x\in\mathbb{R}.
  • Como f'(x)=e^{-x}, segue que
f'(x)>0\qquad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.

Passo 5

Interpretação pelo critério de monotonicidade:
  • Já que f'(x)>0 em todo o domínio \mathbb{R}, pela propriedade do passo 2 isso significa que f é estritamente crescente em qualquer intervalo onde está definida (aqui, em todo \mathbb{R}).
  • Consequentemente, não existem intervalos onde f seja estritamente decrescente.

Passo 6

Uma outra maneira de ver a monotonicidade sem derivada (apenas para intuição ou caso não seja pedido derivar) é comparar valores: para x_2>x_1,
f(x_2)-f(x_1) = \bigl(2-e^{-x_2}\bigr)-\bigl(2-e^{-x_1}\bigr)= -e^{-x_2}+e^{-x_1}=e^{-x_1}\bigl(1-e^{-(x_2-x_1)}\bigr).
Como x_2-x_1>0 e^{-(x_2-x_1)}<1, segue 1-e^{-(x_2-x_1)}>0. E e^{-x_1}>0. Logo f(x_2)-f(x_1)>0, ou seja, f(x_2)>f(x_1) sempre que x_2>x_1. Isso confirma que f é crescente em \mathbb{R}.

Resposta

Crescente: f é estritamente crescente em \mathbb{R}.
Decrescente: f não é decrescente em nenhum intervalo.

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