Exercício 11. Determine os intervalos em que as seguintes funções são crescentes e os intervalos em que elas são decrescentes:
dada por
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede:
- determinar os intervalos em que a função é crescente;
- determinar os intervalos em que a função é decrescente.
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão explícita de
é . - O domínio indicado é todo
.
Passo 2
Estratégia matemática a usar (explicação didática do que será necessário): para estudar crescimento e decrescimento usamos a derivada
. Regra que vamos aplicar agora: se
em um intervalo,
é crescente ali; se
,
é decrescente ali; se
ou não existe, são pontos críticos que podem separar os intervalos. Vou calcular
usando a regra do quociente.
Regra do quociente (fórmula): para
com
e
diferenciáveis e
, vale
Passo 3
Identificar
e
e suas derivadas:
Derivando:
Passo 4
Aplicar a regra do quociente:
Agora vou expandir e simplificar o numerador passo a passo.
Passo 5
Calcular cada parte do numerador:
Subtraindo:
Passo 6
Portanto a derivada fica
Observação importante: o denominador
é sempre positivo para todo
porque
. Assim o sinal de
coincide com o sinal do numerador
Passo 7
Estudar o sinal de
. Primeiro calculo suas raízes usando a fórmula quadrática. O discriminante é
logo
. As raízes são
Isso dá as raízes
Passo 8
Fatorizando
usando as raízes:
Como o coeficiente quadrático
, a parábola aponta para cima, o que implica:
-
para ; -
em e ; -
para .
Passo 9
Como o denominador de
é sempre positivo, o sinal de
é o mesmo de
. Portanto:
-
para → é crescente nesses intervalos. -
para → é decrescente nesse intervalo.
Também se pode observar que emocorre troca de sinal (logo há um máximo local) e em ocorre troca de sinal (logo há um mínimo local), caso queira identificar extremos.
Resposta
A função é crescente em
.
A função é decrescente em .
A função é decrescente em