Exercício 11. Determine os intervalos em que as seguintes funções são crescentes e os intervalos em que elas são decrescentes:
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=\frac{x^{2}-x}{1+3 x^{2}}\

Passo 1

O enunciado dá a função f: \mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por f(x)=\dfrac{x^{2}-x}{1+3x^{2}} e pede:
  • determinar os intervalos em que a função é crescente;
  • determinar os intervalos em que a função é decrescente.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita de f(x) é \dfrac{x^{2}-x}{1+3x^{2}}.
  • O domínio indicado é todo \mathbb{R}.

Passo 2

Estratégia matemática a usar (explicação didática do que será necessário): para estudar crescimento e decrescimento usamos a derivada f'(x). Regra que vamos aplicar agora: se f'(x)>0 em um intervalo, f é crescente ali; se f'(x)<0, f é decrescente ali; se f'(x)=0 ou não existe, são pontos críticos que podem separar os intervalos. Vou calcular f'(x) usando a regra do quociente.
Regra do quociente (fórmula): para \displaystyle g(x)=\frac{u(x)}{v(x)} com u e v diferenciáveis e v(x)\neq0, vale
g'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.

Passo 3

Identificar u e v e suas derivadas:
u(x)=x^{2}-x,\qquad v(x)=1+3x^{2}.
Derivando:
u'(x)=2x-1,\qquad v'(x)=6x.

Passo 4

Aplicar a regra do quociente:
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}=\frac{(2x-1)(1+3x^{2})-(x^{2}-x)(6x)}{(1+3x^{2})^{2}}.
Agora vou expandir e simplificar o numerador passo a passo.

Passo 5

Calcular cada parte do numerador:
(2x-1)(1+3x^{2})=2x+6x^{3}-1-3x^{2}=6x^{3}-3x^{2}+2x-1,
(x^{2}-x)(6x)=6x^{3}-6x^{2}.
Subtraindo:
\text{numerador}= \bigl(6x^{3}-3x^{2}+2x-1\bigr)-\bigl(6x^{3}-6x^{2}\bigr)=3x^{2}+2x-1.

Passo 6

Portanto a derivada fica
f'(x)=\frac{3x^{2}+2x-1}{(1+3x^{2})^{2}}.
Observação importante: o denominador (1+3x^{2})^{2} é sempre positivo para todo x\in\mathbb{R} porque 1+3x^{2}>0. Assim o sinal de f'(x) coincide com o sinal do numerador
q(x)=3x^{2}+2x-1.

Passo 7

Estudar o sinal de q(x)=3x^{2}+2x-1. Primeiro calculo suas raízes usando a fórmula quadrática. O discriminante é
\Delta = 2^{2}-4\cdot 3\cdot(-1)=4+12=16,
logo \sqrt{\Delta}=4. As raízes são
x=\frac{-2\pm 4}{2\cdot 3}=\frac{-2\pm 4}{6}.
Isso dá as raízes
x_{1}=\frac{-2-4}{6}=-1,\qquad x_{2}=\frac{-2+4}{6}=\frac{1}{3}.

Passo 8

Fatorizando q(x) usando as raízes:
q(x)=3\bigl(x+1\bigr)\bigl(x-\tfrac{1}{3}\bigr).
Como o coeficiente quadrático 3>0, a parábola aponta para cima, o que implica:
  • q(x)>0 para x\in(-\infty,-1)\cup\left(\tfrac{1}{3},\infty\right);
  • q(x)=0 em x=-1 e x=\tfrac{1}{3};
  • q(x)<0 para x\in\left(-1,\tfrac{1}{3}\right).

Passo 9

Como o denominador de f'(x) é sempre positivo, o sinal de f'(x) é o mesmo de q(x). Portanto:
  • f'(x)>0 para x\in(-\infty,-1)\cup\left(\tfrac{1}{3},\infty\right) f é crescente nesses intervalos.
  • f'(x)<0 para x\in\left(-1,\tfrac{1}{3}\right) f é decrescente nesse intervalo.
    Também se pode observar que em x=-1 ocorre troca de sinal + \to - (logo há um máximo local) e em x=\tfrac{1}{3} ocorre troca de sinal - \to + (logo há um mínimo local), caso queira identificar extremos.

Resposta

A função é crescente em (-\infty,-1)\cup\left(\tfrac{1}{3},\infty\right).
A função é decrescente em \left(-1,\tfrac{1}{3}\right).

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