Exercício 11. Determine os intervalos em que as seguintes funções são crescentes e os intervalos em que elas são decrescentes:
dada por
Passo 1
O enunciado pede: determinar os intervalos em que a função
, dada por
, é crescente e em que é decrescente.
Informações dadas:
- A função é
. - O domínio é
.
O que a questão quer que eu entregue:
- Os intervalos de
onde é crescente (estritamente ou não). - Os intervalos de
onde é decrescente (estritamente ou não).
Passo 2
Conceito e método que vou usar (explicação didática):
- Uma forma prática de testar monotonicidade é usar a derivada: se a função é diferenciável e sua derivada satisfaz
para todo em um intervalo então é estritamente crescente nesse intervalo; se então é estritamente decrescente; se (com zeros isolados) a função é não decrescente e, normalmente, estritamente crescente se a derivada não é identicamente zero em nenhum subintervalo. - Lembrete sobre derivadas básicas: a derivada de
em relação a é . A derivada de é . Assim, para a soma, deriva-se termo a termo.
Passo 3
Calcular a derivada de
:
Portanto
Passo 4
Encontrar os pontos críticos (onde
) e estudar o sinal de
:
- Resolver
:
- Os
que satisfazem são
- Como
para todo , tem-se para todo . Logo em e apenas nos pontos . Em todos os outros pontos .
Passo 5
Argumento que isso implica monotonicidade estrita de
em toda a reta:
- A derivada
é contínua (pois é contínua) e satisfaz em . - Em qualquer intervalo
com , a função não pode ser identicamente zero nesse intervalo, porque só em pontos isolados ; não existe intervalo com todos os pontos tendo . - Como
é contínua, não-negativa e não identicamente zero em , a integral
é estritamente positiva para todo
. Portanto
sempre que
.
- Conclusão:
é estritamente crescente em todo .
Observação intuitiva rápida: nos pontos onde
(por exemplo
) a derivada anula-se apenas num ponto isolado; isso não “inverte” a monotonicidade nem cria um segmento decrescente — a função continua subindo antes e depois, apenas com a tangente horizontal nesse ponto.
Passo 6
Conclusão sobre decrescimento:
- Já que
para todo e nunca é negativa, não existe nenhum intervalo em que seja decrescente (estritamente ou não).
Resposta
Crescente (estritamente):
Decrescente: nenhum intervalo de
Decrescente: nenhum intervalo de