Exercício 11. Determine os intervalos em que as seguintes funções são crescentes e os intervalos em que elas são decrescentes:
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=x+\cos (x)

Passo 1

O enunciado pede: determinar os intervalos em que a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, dada por f(x)=x+\cos(x), é crescente e em que é decrescente.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x+\cos(x).
  • O domínio é \mathbb{R}.
O que a questão quer que eu entregue:
  • Os intervalos de \mathbb{R} onde f é crescente (estritamente ou não).
  • Os intervalos de \mathbb{R} onde f é decrescente (estritamente ou não).

Passo 2

Conceito e método que vou usar (explicação didática):
  • Uma forma prática de testar monotonicidade é usar a derivada: se a função é diferenciável e sua derivada satisfaz \,f'(x)>0 para todo x em um intervalo então f é estritamente crescente nesse intervalo; se \,f'(x)<0 então é estritamente decrescente; se f'(x)\ge0 (com zeros isolados) a função é não decrescente e, normalmente, estritamente crescente se a derivada não é identicamente zero em nenhum subintervalo.
  • Lembrete sobre derivadas básicas: a derivada de x em relação a x é 1. A derivada de \cos(x) é -\sin(x). Assim, para a soma, deriva-se termo a termo.

Passo 3

Calcular a derivada de f:
f(x)=x+\cos(x)
Portanto
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(\cos x\bigr)=1+(-\sin x)=1-\sin x.

Passo 4

Encontrar os pontos críticos (onde f'(x)=0) e estudar o sinal de f':
  • Resolver f'(x)=0:
1-\sin x=0 \quad\Longrightarrow\quad \sin x=1.
  • Os x que satisfazem \sin x=1 são
x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
  • Como \sin x\in[-1,1] para todo x, tem-se \,1-\sin x\ge0 para todo x. Logo f'(x)\ge0 em \mathbb{R} e f'(x)=0 apenas nos pontos x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi. Em todos os outros pontos f'(x)>0.

Passo 5

Argumento que isso implica monotonicidade estrita de f em toda a reta:
  • A derivada f' é contínua (pois \sin x é contínua) e satisfaz f'(x)\ge0 em \mathbb{R}.
  • Em qualquer intervalo [a,b] com a<b, a função f' não pode ser identicamente zero nesse intervalo, porque f'(x)=0 só em pontos isolados \dfrac{\pi}{2}+2k\pi; não existe intervalo com todos os pontos tendo \sin x=1.
  • Como f' é contínua, não-negativa e não identicamente zero em [a,b], a integral
f(b)-f(a)=\int_a^b f'(t)\,dt
é estritamente positiva para todo a<b. Portanto f(b)>f(a) sempre que a<b.
  • Conclusão: f é estritamente crescente em todo \mathbb{R}.
Observação intuitiva rápida: nos pontos onde f'(x)=0 (por exemplo x=\pi/2) a derivada anula-se apenas num ponto isolado; isso não “inverte” a monotonicidade nem cria um segmento decrescente — a função continua subindo antes e depois, apenas com a tangente horizontal nesse ponto.

Passo 6

Conclusão sobre decrescimento:
  • Já que f'(x)\ge0 para todo x e nunca é negativa, não existe nenhum intervalo em que f seja decrescente (estritamente ou não).

Resposta

Crescente (estritamente): \mathbb{R}
Decrescente: nenhum intervalo de \mathbb{R}

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