Exercício 9. Considere a função
dada por
, para todo
. Mostre que
é estritamente crescente.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
para todo
. A pergunta é: mostrar que
é estritamente crescente em
.
Passo 2
Estratégia que vou usar (explicada com calma): uma forma padrão e direta de mostrar que uma função é estritamente crescente é calcular sua derivada
e provar que
para todo
. Vou justificar por que isso basta.
Teorema (forma prática, sem demonstração técnica longa): se uma função
é diferenciável em um intervalo e
para todo ponto desse intervalo, então
é estritamente crescente nesse intervalo. Intuição: pela Fórmula do Valor Médio (teorema de Lagrange), para quaisquer
existe
tal que
Se
e
, então
, ou seja
; isso é exatamente a definição de estritamente crescente. Logo, provar
em toda
é suficiente.
Passo 3
Calcular a derivada termo a termo, usando a regra básica de derivação: se
então
; se
então
.
Aplicando isso a cada termo de
:
- derivada de
é ; - derivada de
é ; - derivada de
é .
Portanto
Passo 4
Mostrar que
para todo
.
Observe que para todo
vale
e
. Multiplicando por constantes positivas mantém a desigualdade, então
e
. Somando essas quantidades e o termo constante
(que é positivo) obtemos
Logo
para todo
. Em particular
para todo
. (Nota rápida: no caso
temos
, então não existe ponto onde a derivada seja zero.)
Passo 5
Concluir a monotonicidade usando o que foi explicado no Passo 2.
A função
é um polinômio, portanto é diferenciável em toda
. Pelo Passo 4 temos
para todo
. Pelo teorema do valor médio já citado, isso implica que para quaisquer
temos
para algum
. Assim
sempre que
, ou seja,
é estritamente crescente em
.