Exercício 9. Considere a função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=2 x^{5}+x^{3}+2 x, para todo x \in \mathbb{R}. Mostre que f é estritamente crescente.

Passo 1

O enunciado dá a função f: \mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por
f(x)=2x^{5}+x^{3}+2x,
para todo x\in\mathbb{R}. A pergunta é: mostrar que f é estritamente crescente em \mathbb{R}.

Passo 2

Estratégia que vou usar (explicada com calma): uma forma padrão e direta de mostrar que uma função é estritamente crescente é calcular sua derivada f' e provar que f'(x)>0 para todo x. Vou justificar por que isso basta.
Teorema (forma prática, sem demonstração técnica longa): se uma função f é diferenciável em um intervalo e f'(x)>0 para todo ponto desse intervalo, então f é estritamente crescente nesse intervalo. Intuição: pela Fórmula do Valor Médio (teorema de Lagrange), para quaisquer a<b existe c\in(a,b) tal que
\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'\text{(c)}.
Se f'\text{(c)}>0 e b-a>0, então f(b)-f(a)>0, ou seja f(b)>f(a); isso é exatamente a definição de estritamente crescente. Logo, provar f'(x)>0 em toda \mathbb{R} é suficiente.

Passo 3

Calcular a derivada termo a termo, usando a regra básica de derivação: se g(x)=x^{n} então g'(x)=n x^{n-1}; se g(x)=ax então g'(x)=a.
Aplicando isso a cada termo de f:
  • derivada de 2x^{5} é 2\cdot 5x^{4}=10x^{4};
  • derivada de x^{3} é 3x^{2};
  • derivada de 2x é 2.
Portanto
f'(x)=10x^{4}+3x^{2}+2.

Passo 4

Mostrar que f'(x)>0 para todo x\in\mathbb{R}.
Observe que para todo x\in\mathbb{R} vale x^{4}\ge 0 e x^{2}\ge 0. Multiplicando por constantes positivas mantém a desigualdade, então 10x^{4}\ge0 e 3x^{2}\ge0. Somando essas quantidades e o termo constante 2 (que é positivo) obtemos
f'(x)=10x^{4}+3x^{2}+2 \ge 0+0+2=2.
Logo f'(x)\ge 2 para todo x. Em particular f'(x)>0 para todo x. (Nota rápida: no caso x=0 temos f'(0)=2>0, então não existe ponto onde a derivada seja zero.)

Passo 5

Concluir a monotonicidade usando o que foi explicado no Passo 2.
A função f é um polinômio, portanto é diferenciável em toda \mathbb{R}. Pelo Passo 4 temos f'(x)>0 para todo x\in\mathbb{R}. Pelo teorema do valor médio já citado, isso implica que para quaisquer a<b temos f(b)-f(a)=(b-a)f'\text{(c)}>0 para algum c\in(a,b). Assim f(b)>f(a) sempre que b>a, ou seja, f é estritamente crescente em \mathbb{R}.

Resposta

f é estritamente crescente em \mathbb{R}.

Exercícios relacionados