Exercício 12. Determine (se existirem) os valores máximos e mínimos globais das seguintes funções:
dada por
Passo 1
O enunciado pede: determinar, se existirem, os valores máximos e mínimos globais da função
dada por
Informações relevantes fornecidas:
- A função é um polinômio de grau
(domínio todo ). - Quer-se saber se existem máximo global e/ou mínimo global (valores máximos ou mínimos em todo o domínio).
Passo 2
Estratégia e conceitos que vou usar (explicados de forma simples):
- Um máximo global é um ponto
tal que para todo . Similarmente, mínimo global satisfaz para todo . - Candidatos a extremos globais (quando o domínio é todo
) vêm de: - Pontos críticos (onde
ou não existe). Aqui existe em todo lugar, pois é polinômio. - Comportamento da função quando
(se a função for não limitada acima ou abaixo, não haverá máximo ou mínimo global).
- Pontos críticos (onde
- Vou encontrar os pontos críticos calculando a derivada, classificá-los (teste da segunda derivada) e verificar os limites para
para concluir sobre existência de extremos globais.
Passo 3
Calcular a derivada e achar os pontos críticos.
A derivada é
A derivada é
Coloco em forma fatorada para resolver
:
Portanto os pontos críticos são as soluções de
e de
Chamo
. O polinômio cúbico tem uma única raiz real (as outras duas são complexas), logo os pontos críticos reais são exatamente
e
. Não há pontos onde
deixe de existir.
Passo 4
Classificar os pontos críticos usando a segunda derivada (teste da segunda derivada).
A segunda derivada é
A segunda derivada é
Avaliando em
:
logo por este teste
é um ponto de máximo local (segunda derivada negativa indica concavidade para baixo).
Avaliando em , usando
:
Avaliando em
portanto
é um ponto de mínimo local (segunda derivada positiva indica concavidade para cima).
Passo 5
Calcular os valores da função nesses pontos críticos (valores locais).
- Em
:
- Em
(usar para simplificar):
Substituindo
obtemos a forma exata
Valor aproximado (para intuição):
,
, então
Portanto há um máximo local em
com
e um mínimo local em
com
.
Passo 6
Analisar o comportamento quando
(isso decide existência de extremos globais).
- Como
é polinômio de grau ímpar com coeficiente líder positivo (termo dominante com coeficiente ), tem os limites:
Isto significa que
é não limitada superiormente (vai a
) e não limitada inferiormente (vai a
). Consequência imediata:
- Não existe máximo global, porque por exemplo para
suficientemente grande excede (o máximo local). - Não existe mínimo global, porque por exemplo para
suficientemente negativo atinge valores menores que (tende a ).
Passo 7
Conclusão final e recado de estudo (rápido incentivo):
- Resumindo: a função tem um máximo local em
com e um mínimo local em com (aprox. ). - Entretanto, globalmente não há máximo nem mínimo, porque
quando e quando .
Força aí — você já tem o passo a passo completo para justificar na prova: compute derivada, ache críticos, use segunda derivada para classificar e sempre cheque os limites em
quando o domínio é todo
.
Resposta
Não existe máximo global nem mínimo global.