Exercício 12. Determine (se existirem) os valores máximos e mínimos globais das seguintes funções:
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=x^{5}-7 x^{2}+2

Passo 1

O enunciado pede: determinar, se existirem, os valores máximos e mínimos globais da função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} dada por
f(x)=x^{5}-7x^{2}+2.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é um polinômio de grau 5 (domínio todo \mathbb{R}).
  • Quer-se saber se existem máximo global e/ou mínimo global (valores máximos ou mínimos em todo o domínio).

Passo 2

Estratégia e conceitos que vou usar (explicados de forma simples):
  • Um máximo global é um ponto x_0\in\mathbb{R} tal que f(x_0)\ge f(x) para todo x\in\mathbb{R}. Similarmente, mínimo global satisfaz f(x_0)\le f(x) para todo x.
  • Candidatos a extremos globais (quando o domínio é todo \mathbb{R}) vêm de:
    1. Pontos críticos (onde f'(x)=0 ou f' não existe). Aqui f' existe em todo lugar, pois é polinômio.
    2. Comportamento da função quando x\to\pm\infty (se a função for não limitada acima ou abaixo, não haverá máximo ou mínimo global).
  • Vou encontrar os pontos críticos calculando a derivada, classificá-los (teste da segunda derivada) e verificar os limites para \pm\infty para concluir sobre existência de extremos globais.

Passo 3

Calcular a derivada e achar os pontos críticos.
A derivada é
f'(x)=5x^{4}-14x.
Coloco em forma fatorada para resolver f'(x)=0:
f'(x)=x\bigl(5x^{3}-14\bigr).
Portanto os pontos críticos são as soluções de x=0 e de
5x^{3}-14=0\quad\Rightarrow\quad x^{3}=\frac{14}{5}\quad\Rightarrow\quad x=\sqrt[3]{\frac{14}{5}}.
Chamo c=\sqrt[3]{\tfrac{14}{5}}. O polinômio cúbico tem uma única raiz real (as outras duas são complexas), logo os pontos críticos reais são exatamente x=0 e x=c. Não há pontos onde f' deixe de existir.

Passo 4

Classificar os pontos críticos usando a segunda derivada (teste da segunda derivada).
A segunda derivada é
f''(x)=20x^{3}-14.
Avaliando em x=0:
f''(0)=20\cdot 0^{3}-14=-14<0,
logo por este teste x=0 é um ponto de máximo local (segunda derivada negativa indica concavidade para baixo).
Avaliando em x=c, usando c^{3}=\tfrac{14}{5}:
f''\text{(c)}=20c^{3}-14=20\cdot\frac{14}{5}-14=56-14=42>0,
portanto x=c é um ponto de mínimo local (segunda derivada positiva indica concavidade para cima).

Passo 5

Calcular os valores da função nesses pontos críticos (valores locais).
  • Em x=0:
f(0)=0^{5}-7\cdot 0^{2}+2=2.
  • Em x=c (usar c^{3}=\tfrac{14}{5} para simplificar):
f\text{(c)}=c^{5}-7c^{2}+2 = c^{2}\bigl(c^{3}-7\bigr)+2 = c^{2}\!\left(\frac{14}{5}-7\right)+2 = c^{2}\left(-\frac{21}{5}\right)+2.
Substituindo c^{2}=\left(\dfrac{14}{5}\right)^{2/3} obtemos a forma exata
f\text{(c)}=2-\frac{21}{5}\left(\frac{14}{5}\right)^{2/3}.
Valor aproximado (para intuição): c\approx1{,}409, c^{2}\approx1{,}986, então
f\text{(c)}\approx 2-4{,}2\cdot 1{,}986\approx -6{,}342.
Portanto há um máximo local em x=0 com f(0)=2 e um mínimo local em x=c com f\text{(c)}\approx -6{,}342.

Passo 6

Analisar o comportamento quando x\to\pm\infty (isso decide existência de extremos globais).
  • Como f é polinômio de grau ímpar com coeficiente líder positivo (termo dominante x^{5} com coeficiente +1), tem os limites:
\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty.
Isto significa que f é não limitada superiormente (vai a +\infty) e não limitada inferiormente (vai a -\infty). Consequência imediata:
  • Não existe máximo global, porque por exemplo para x suficientemente grande f(x) excede 2 (o máximo local).
  • Não existe mínimo global, porque por exemplo para x suficientemente negativo f(x) atinge valores menores que f\text{(c)} (tende a -\infty).

Passo 7

Conclusão final e recado de estudo (rápido incentivo):
  • Resumindo: a função tem um máximo local em x=0 com f(0)=2 e um mínimo local em x=\sqrt[3]{\tfrac{14}{5}} com f\bigl(\sqrt[3]{\tfrac{14}{5}}\bigr)=2-\dfrac{21}{5}\left(\dfrac{14}{5}\right)^{2/3} (aprox. -6{,}342).
  • Entretanto, globalmente não há máximo nem mínimo, porque f(x)\to+\infty quando x\to+\infty e f(x)\to-\infty quando x\to-\infty.
Força aí — você já tem o passo a passo completo para justificar na prova: compute derivada, ache críticos, use segunda derivada para classificar e sempre cheque os limites em \pm\infty quando o domínio é todo \mathbb{R}.

Resposta

Não existe máximo global nem mínimo global.

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