Exercício 11. (ELJ 59) Se F: R^m times R^n R^k é dado por F(x, y)=A(x)(y), em que A: R^m L(R^n, R^k) é diferenciável. Mostre que F é diferenciável e calcule d F(x, y)(h, k).

Passo 1

O enunciado define
F:R^mtimesR^ntoR^k, F(x,y)=A(x)(y),
onde
A:R^mto L(R^n,R^k)
é diferenciável. Precisamos mostrar que F é diferenciável em (x,y) e encontrar a forma de dF(x,y)(h,k). Para isso usaremos a definição de diferencial e a expansão de A(x+h) dada por sua diferenciabilidade.

Passo 2

Considere o incremento (h,k)inR^mtimesR^n. Pela definição de F,
F(x+h,y+k)-F(x,y) = A(x+h)l(y+kr)-A(x)(y)
Como A é diferenciável em x, existe
dA(x)(h)in L(R^n,R^k)
e um resto rA(h) com rA(h)/|h|to0 quando hto0, tais que
A(x+h)=A(x)+dA(x)(h)+rA(h)

Passo 3

Substituindo essa expansão em F:
F(x+h,y+k) =l[A(x)+dA(x)(h)+rA(h)r](y+k)
Ao distribuir
F(x+h,y+k) = A(x)y + A(x)k + dA(x)(h)y + dA(x)(h)k + rA(h),y + rA(h),k
Como F(x,y)=A(x)y, o incremento fica
F(x+h,y+k)-F(x,y) = underbracedA(x)(h)y + A(x)kparte linear + underbracedA(x)(h)k + rA(h),y + rA(h),kresto

Passo 4

Definimos o candidato a diferencial linear L:R^mtimesR^ntoR^k por
L(h,k)=dA(x)(h)(y)+A(x)(k)
Resta verificar que o resto acima é o(|(h,k)|). De fato,
|dA(x)(h)k|<=|dA(x)|;|h|;|k|=o(|(h,k)|),
|rA(h),y|=|rA(h)|;|y|=o(|h|)=o(|(h,k)|), e
|rA(h),k|<=|rA(h)|;|k|=o(|h|),|k|=o(|(h,k)|).

Resposta

dF(x,y)(h,k)=dA(x)(h)(y)+A(x)(k)

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