Exercício 11. (ELJ 59) Se é dado por , em que é diferenciável. Mostre que é diferenciável e calcule .
Passo 1
O enunciado define
onde
é diferenciável. Precisamos mostrar que é diferenciável em e encontrar a forma de . Para isso usaremos a definição de diferencial e a expansão de dada por sua diferenciabilidade.
Passo 2
Considere o incremento . Pela definição de ,
Como é diferenciável em , existe
e um resto com quando , tais que
Passo 3
Substituindo essa expansão em :
Ao distribuir
Como , o incremento fica
Passo 4
Definimos o candidato a diferencial linear L:R^mtimesR^ntoR^k por
L(h,k)=dA(x)(h)(y)+A(x)(k)
Resta verificar que o resto acima é o(|(h,k)|). De fato, |dA(x)(h)k|<=|dA(x)|;|h|;|k|=o(|(h,k)|), |rA(h),y|=|rA(h)|;|y|=o(|h|)=o(|(h,k)|), e |rA(h),k|<=|rA(h)|;|k|=o(|h|),|k|=o(|(h,k)|).