Use o teorema de Green para calcular a área da região limitada pela(s) curva(s) dadas.
y=x^2 e x=y^2;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região limitada pelas curvas ;y = x^2; e ;x = y^2; usando o Teorema de Green. Vamos precisar:
  1. Encontrar os pontos de interseção dessas curvas.
  2. Descrever a fronteira C da região, orientada no sentido anti-horário.
  3. Aplicar a fórmula de área a partir de Green:
Área = 12ointC (x,dy - y,dx) Á

Passo 2

Achamos os pontos de interseção resolvendo
y = x^2, x = y^2
Substituindo y=x^2 em x=y^2 x = (x^2)^2 = x^4, isto é
x^4 - x = 0;Longrightarrow;x(x^3-1)=0;Longrightarrow;x=0 ou x=1
Assim os pontos são (0,0) e (1,1). A região fica entre essas curvas no primeiro quadrante.

Passo 3

Para aplicar Green definimos a curva fechada C como união de dois ramos, percorridos no sentido anti-horário:
  • C1: de (0,0) a (1,1) seguindo y=x^2.
  • C2: de (1,1) a (0,0) seguindo x=y^2.
Em cada ramo calculamos o integral
ointC(x,dy - y,dx) =integralC1(x,dy - y,dx)+integralC2(x,dy - y,dx)

Passo 4

No ramo C1 usemos tin[0,1]mapsto(x,y)=(t,;t^2). Então
dx = dt, dy = 2t,dt,
e
x,dy - y,dx = tcdot(2t,dt) - t^2cdot(dt) = (2t^2 - t^2),dt = t^2,dt
Logo
integralC1(x,dy - y,dx) =integral0^1 t^2,dt =13

Passo 5

No ramo C2 usemos sin[1,0]mapsto(x,y)=(s^2,;s). Então
dx = 2s,ds, dy = ds,
e
x,dy - y,dx = s^2cdot(ds) - scdot(2s,ds) = -s^2,ds
Integrando de s=1 a s=0:
integralC2(x,dy - y,dx) =integral1^0 (-s^2),ds =integral0^1 s^2,ds =13

Passo 6

Somando as duas contribuições:
ointC(x,dy - y,dx) =13 + 13 =23
Pelo Teorema de Green a área vale
Área =12ointC(x,dy - y,dx) =12cdot23 =13 Á

Resposta

13

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