Use o teorema de Green para calcular a área da região limitada pela(s) curva(s) dadas.
e
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área da região limitada pelas curvas
e
usando o Teorema de Green. Vamos precisar:
- Encontrar os pontos de interseção dessas curvas.
- Descrever a fronteira
da região, orientada no sentido anti-horário. - Aplicar a fórmula de área a partir de Green:
Passo 2
Achamos os pontos de interseção resolvendo
Substituindo
em
dá
, isto é
Assim os pontos são
e
. A região fica entre essas curvas no primeiro quadrante.
Passo 3
Para aplicar Green definimos a curva fechada
como união de dois ramos, percorridos no sentido anti-horário:
-
: de a seguindo . -
: de a seguindo .
Em cada ramo calculamos o integral
Passo 4
No ramo
usemos
. Então
e
Logo
Passo 5
No ramo
usemos
. Então
e
Integrando de
a
:
Passo 6
Somando as duas contribuições:
Pelo Teorema de Green a área vale