Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
lim x 0 arcsin xx

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto0arcsin xx
O conteúdo envolve limites de funções e, em particular, a possibilidade de usar a regra de l’Hôspital ou aproximações elementares em torno de x=0.

Passo 2

Vamos verificar a forma do limite. Quando xto0, temos arcsin xto0 e xto0, ou seja, é uma indeterminação do tipo 0/0. Como arcsin x e x são diferenciáveis num entorno de 0 (exceto no próprio ponto, mas isso não impede a aplicação), podemos aplicar a regra de l’Hôspital.

Passo 3

Pela regra de l’Hôspital:
limxto0arcsin xx =limxto0ddx(arcsin x)ddx(x) =limxto01raiz1-x^21 =1raiz1-0=1

Passo 4

Alternativamente, de modo mais elementar, usamos o desenvolvimento de Taylor para pequenos x:
arcsin x = x + o(x),
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arcsin xx=1 + o(1)
e, portanto, o limite também é 1.

Resposta

1

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