Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede calcular
O conteúdo envolve limites de funções e, em particular, a possibilidade de usar a regra de l’Hôspital ou aproximações elementares em torno de
.
Passo 2
Vamos verificar a forma do limite. Quando
, temos
e
, ou seja, é uma indeterminação do tipo
. Como
e
são diferenciáveis num entorno de
(exceto no próprio ponto, mas isso não impede a aplicação), podemos aplicar a regra de l’Hôspital.
Passo 3
Pela regra de l’Hôspital:
Passo 4
Alternativamente, de modo mais elementar, usamos o desenvolvimento de Taylor para pequenos
:
logo
e, portanto, o limite também é
.