Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem, justificando convenientemente:
sumn=2^infty 1n cdot ln ^3(raiz[7]n)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=2^infty 1n;ln^3l(raiz[7]nr)
O conteúdo principal aqui é teste de integral para séries de termos positivos e decrescentes.

Passo 2

Começamos simplificando o termo lnl(raiz[7]nr). Como raiz[7]n=n^1/7, temos
lnl(raiz[7]nr) =lnl(n^1/7r) =tfrac17,ln n
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1n;ln^3l(raiz[7]nr) =1n;l(tfrac17ln nr)^3 =7^3n;(ln n)^3 =343n;(ln n)^3

Passo 3

Assim a série original difere apenas por um fator constante de
sumn=2^infty1n;(ln(raiz[7]n))^3 =343sumn=2^infty1n,(ln n)^3
Para estudar a convergência de sum 1/[n,(ln n)^3] usamos o teste da integral, pois para n>=2 a função
f(x)=1x,(ln x)^3
é positiva e decrescente.

Passo 4

Aplique a mudança de variável
t=ln x, dt=dxx,
no integral impróprio
integral2^inftydxx,(ln x)^3 =integralln 2^inftydtt^3

Passo 5

Calcule
integralln 2^inftyt^-3,dt =limbtoinfty[-12,t^2]t=ln 2^t=b =limbtoinftyl(0-(-tfrac12(ln2)^2)r) =12(ln2)^2<infty
Como essa integral converge, pelo teste da integral a série sumn=2^infty1/[n,(ln n)^3] converge.

Passo 6

Multiplicar por 343 não muda a convergência, logo
sumn=2^infty1n;ln^3l(raiz[7]nr)
converge absolutamente.

Resposta

A série converge.

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