Exercício 11 (ELJ 62)
Seja f: R^n R diferenciável em 0 in R^n tal que f(x2)=f(x)2, para todo x in R^n. Mostre que f é linear.

Passo 1

O enunciado dá uma função f:R^ntoR diferenciável em 0 e satisfaz
f!l(tfracx2r)=tfracf(x)2 forall xinR^n
Queremos mostrar que f é linear, ou seja, que existe uma forma linear L tal que f(x)=L(x) para todo x.

Passo 2

Pela diferenciabilidade em 0, existe uma aplicação linear L:R^ntoR, dada por
L(x)=Df(0),x,
e um resto r(x) tal que
f(x)=L(x)+r(x),
onde
limxto0r(x)|x|=0

Passo 3

Defina r(x)=f(x)-L(x). Usando a condição do enunciado,
fl(tfracx2r)=tfracf(x)2 ;Longrightarrow; L!l(tfracx2r)+r!l(tfracx2r) =tfrac12l(L(x)+r(x)r)
Mas Ll(tfracx2r)=tfracL(x)2, logo
r!l(tfracx2r)=tfracr(x)2 forall xinR^n

Passo 4

Para qualquer xneq0, escolha kinN grande tal que y=2^-kx esteja próximo de 0, de modo que
l|r(y)r|<=varepsilon,|y|
para dado varepsilon>0. Então, usando r(x)=2^k,r(y), temos
l|r(x)r| =2^k,l|r(y)r| <=2^k,varepsilon,|y| =varepsilon,|x|
Como varepsilon é arbitrário, conclui-se r(x)=0 para todo x.

Passo 5

Se r(x)=0 para todo x, então
f(x)=L(x)=Df(0),x,
isto é, f coincide com a forma linear L. Portanto f é linear.

Resposta

f(x)=Df(0),x, logo f é linear.

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