Exercício 11 (ELJ 62)
Seja
diferenciável em
tal que
, para todo
. Mostre que
é linear.
Seja
Passo 1
O enunciado dá uma função
diferenciável em
e satisfaz
Queremos mostrar que
é linear, ou seja, que existe uma forma linear
tal que
para todo
.
Passo 2
Pela diferenciabilidade em
, existe uma aplicação linear
, dada por
e um resto
tal que
onde
Passo 3
Defina
. Usando a condição do enunciado,
Mas
, logo
Passo 4
Para qualquer
, escolha
grande tal que
esteja próximo de
, de modo que
para dado
varepsilon>0 . Então, usando
r(x)=2^k,r(y) , temos
Como
varepsilon é arbitrário, conclui-se
r(x)=0 para todo
x .
Passo 5
Se
r(x)=0 para todo
x , então
isto é,
f coincide com a forma linear
L . Portanto
f é linear.