Uma lâmina tem a forma do cilindro x^2+y^2=4, entre os planos z=0 e 3x-z=3. Determine a massa da lâmina se a densidade em cada ponto é dada por de<a(x, y, z)=x^2 .

Passo 1

O enunciado pede a massa de uma “lâmina” que é a superfície lateral do cilindro , cortada pelos planos (base) e (topo). A densidade é . Para resolver, vamos usar a integral de superfície\r
\r
onde é a parte do cilindro entre os dois planos. Precisaremos parametrizar , expressar em termos dessa parametrização e calcular o elemento de área .

Passo 2

Parametrizamos o cilindro de raio 2 por\r
r(theta,z) = (2costheta,,2sintheta,,z),\r
com theta e z variando de acordo com as interseções com os planos. Nessa parametrização, \r
;x=2costheta, \r
;y=2sintheta\r
e a densidade torna-se\r
de<a = x^2 = (2costheta)^2 = 4cos^2theta\r
O elemento de área do cilindro é \r
l| rthetatimes rzr|,dtheta,dz = 2,dtheta,dz

Passo 3

Restam os limites de theta e z. O plano inferior é z=0. O plano superior é\r
3x - z = 3Longrightarrow z = 3x - 3 = 6costheta - 3\r
Para que a região exista, precisamos de 6costheta -3>=0, ou costheta>=tfrac12. Logo\r
thetainl[-tfracpi3,;tfracpi3r], zinl[0,;6costheta -3r]

Passo 4

Montamos a integral de massa:\r
massa =integraltheta=-pi/3^pi/3integralz=0^6costheta-3 l(4cos^2thetar),l(2r);dz,dtheta =integral-pi/3^pi/3integral0^6costheta-38cos^2theta;dz,dtheta
Integramos primeiro em z:\r
integral0^6costheta-38cos^2theta,dz =8cos^2theta,(6costheta-3) =8cos^2theta,(6costheta)-8cos^2theta,(3)

Passo 5

Como o integrando em theta é par, usamos simetria:
massa =2integral0^pi/38cos^2theta,(6costheta-3),dtheta =16integral0^pi/3l(6cos^3theta-3cos^2thetar),dtheta
Calculamos as duas integrais:
integral0^pi/3cos^3theta,dtheta =l[sintheta-tfracsin^3theta3r]0^pi/3 = 3raiz38,
integral0^pi/3cos^2theta,dtheta =l[tfractheta2+tfracsin2theta4r]0^pi/3 = pi6 + raiz38
Substituindo:
16l(6cdottfrac3raiz38;-;3l(tfracpi6+tfracraiz38r)r) =16l(tfrac18raiz38-tfracpi2-tfrac3raiz38r) =16l(tfrac15raiz38-tfracpi2r)

Passo 6

Finalmente,
massa =16cdottfrac15raiz38;-;16cdottfracpi2 =2cdot15raiz3;-;8pi =30raiz3 ;-;8pi

Resposta

30raiz3 - 8pi

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