Uma lâmina tem a forma do cilindro , entre os planos e . Determine a massa da lâmina se a densidade em cada ponto é dada por .
Passo 1
O enunciado pede a massa de uma “lâmina” que é a superfície lateral do cilindro , cortada pelos planos (base) e (topo). A densidade é . Para resolver, vamos usar a integral de superfície\r
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onde é a parte do cilindro entre os dois planos. Precisaremos parametrizar , expressar em termos dessa parametrização e calcular o elemento de área .
Passo 2
Parametrizamos o cilindro de raio 2 por\r
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com e variando de acordo com as interseções com os planos. Nessa parametrização, \r , \r \r
e a densidade torna-se\r
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O elemento de área do cilindro é \r
Passo 3
Restam os limites de theta e z. O plano inferior é z=0. O plano superior é\r
3x - z = 3Longrightarrow z = 3x - 3 = 6costheta - 3\r
Para que a região exista, precisamos de 6costheta -3>=0, ou costheta>=tfrac12. Logo\r