Exercício 11 Encontre o conjunto solução, fornecendo suas respostas na forma de intervalos, para as seguintes desigualdades:
8x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade 8x. O conteúdo é inequações racionais: precisamos reunir tudo em uma única fração e estudar o sinal numerador sobre denominador.

Passo 2

Movemos x-2 para o lado esquerdo e escrevemos em uma única fração:
8x - (x-2) < 0
Agora colocamos sobre um denominador comum e simplificamos o numerador:
8 - x(x-2)x < 0
Calculando o numerador:
8 - x^2 + 2x = -x^2 + 2x + 8 = -(x^2 - 2x - 8) = -(x-4)(x+2)
Assim a desigualdade fica
-(x-4)(x+2)x < 0

Passo 3

Identificamos os pontos críticos que anulam numerador ou denominador: x=-2, x=0 (não pertence ao domínio) e x=4. Montamos o quadro de sinais nos intervalos:
  • Para x<-2: numerador negativo, denominador negativo → quociente positivo.
  • Para -2: numerador positivo, denominador negativo → quociente negativo.
  • Para 0: numerador positivo, denominador positivo → quociente positivo.
  • Para x>4: numerador negativo, denominador positivo → quociente negativo.

Passo 4

A desigualdade pede quociente negativo. Isso ocorre nos intervalos (-2,0) e (4,infty).

Resposta

(-2,0) ∪ (4,∞)

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