Exercício 11: Encontre o volume da região limitada pelas curvas x=2 y e x=4 no intervalo y=0 até y=2, ao girar a região em torno do eixo y.
V=pi integral0^2(4^2-(2 y)^2) d y

Passo 1

O enunciado pede o volume da região no plano xy limitada pelas curvas x=2y e x=4, para y variando de 0 a 2, quando essa região é girada em torno do eixo y. O conteúdo é o método dos discos/aros (washers) para cálculo de volumes de revolução e vamos precisar usar a fórmula
V=piintegraly1^y2l(R(y)^2 - r(y)^2r),dy
onde R(y) é o raio externo e r(y) é o raio interno.

Passo 2

Para identificar os raios no eixo y, note que a curva x=4 gera o raio externo R(y)=4 e a curva x=2y gera o raio interno r(y)=2y.

Passo 3

Substituindo esses raios na fórmula, montamos o integral do volume:
V=piintegral0^2l(4^2 - (2y)^2r),dy = piintegral0^2l(16 - 4y^2r),dy

Passo 4

Agora vamos calcular a primitiva do integrando. Temos
integral(16 - 4y^2),dy = 16y - 4y^33 + C

Passo 5

Avaliamo-la de y=0 a y=2 e multiplicamos por pi:
V = pil[16y - 4y^33r]0^2 = pil(16cdot2 - 4cdot2^33 - 0r) = pil(32 - 323r) = picdot643

Resposta

64pi3

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