Exercício 11: Encontre o volume da região limitada pelas curvas
e
no intervalo
até
, ao girar a região em torno do eixo
.
Passo 1
O enunciado pede o volume da região no plano xy limitada pelas curvas x=2y e x=4, para y variando de 0 a 2, quando essa região é girada em torno do eixo y. O conteúdo é o método dos discos/aros (washers) para cálculo de volumes de revolução e vamos precisar usar a fórmula
onde R(y) é o raio externo e r(y) é o raio interno.
Passo 2
Para identificar os raios no eixo y, note que a curva x=4 gera o raio externo R(y)=4 e a curva x=2y gera o raio interno r(y)=2y.
Passo 3
Substituindo esses raios na fórmula, montamos o integral do volume:
Passo 4
Agora vamos calcular a primitiva do integrando. Temos
Passo 5
Avaliamo-la de y=0 a y=2 e multiplicamos por
: