Exercício 6: Determine o volume da região limitada pelas curvas y=3 x-x^2, y=0, x=0 e x=3, ao girar a região em torno do eixo x.
V=pi integral0^3(3 x-x^2)^2 d x

Passo 1

O exercício pede o volume da região limitada por y=3x−x², y=0, x=0 e x=3, girada em torno do eixo x. O conteúdo é cálculo de volume por disco, e vamos precisar da fórmula
V=piintegrala^b[R(x)]^2,dx
onde R(x)=3x−x².

Passo 2

Primeiro expandimos o integrando:
(3x−x^2)^2=9x^2−6x^3+x^4
Assim
V=piintegral0^3(9x^2−6x^3+x^4),dx

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
integral 9x^2dx=3x^3, integral (−6x^3)dx=−tfrac32x^4, integral x^4dx=tfracx^55
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V=pil[3x^3−tfrac32x^4+tfracx^55r]0^3

Passo 4

Avaliando em x=3:
3cdot3^3−tfrac32cdot3^4+tfrac3^55 =81−tfrac2432+tfrac2435
Colocando em denominação comum (10):
810−1215+48610=8110
Portanto
V=picdot8110

Resposta

81pi10

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