Um parafuso metálico, utilizado para fixação de peças em uma máquina industrial, tem a forma de um cilindro com raio r=2 cm e comprimento l=12 cm , com rosca helicoidal. A seção transversal da rosca é um triângulo isósceles de base 1 cm e altura 0,5 cm. Calcule o volume da rosca formada pela rotação do triângulo ao redor do eixo do parafuso.
Vrosca=integral0^12 pi(12 x)^2 d x

Passo 1

O enunciado descreve um parafuso de comprimento l=12 cm com rosca cuja seção triangular, ao ser girada em torno do eixo, gera o volume pedido. O conteúdo principal é cálculo de volume de um sólido de revolução pela “método dos discos”.

Passo 2

Para usar o método dos discos, precisamos expressar o raio do disco em função da variável x (eixo do parafuso). A base do triângulo tem altura variável de 0 em x=0 até 1 cm em x=12, de modo que
r(x)=12,x,,

Passo 3

e a área de um disco de espessura dx é
dV=pil(r(x)r)^2dx=pil(tfrac12xr)^2dx,
Agora montamos o volume total integrando de x=0 a x=12:
[V=\int_{0}{12}\pi\Bigl(\tfrac12x\Bigr)2dx=\frac{\pi}{4}\int_{0}{12}x2dx,.$$
Basta calcular essa integral:
Basta calcular essa integral:

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