Um parafuso metálico, utilizado para fixação de peças em uma máquina industrial, tem a forma de um cilindro com raio
e comprimento
cm , com rosca helicoidal. A seção transversal da rosca é um triângulo isósceles de base 1 cm e altura
. Calcule o volume da rosca formada pela rotação do triângulo ao redor do eixo do parafuso.
Passo 1
O enunciado descreve um parafuso de comprimento
cm com rosca cuja seção triangular, ao ser girada em torno do eixo, gera o volume pedido. O conteúdo principal é cálculo de volume de um sólido de revolução pela “método dos discos”.
Passo 2
Para usar o método dos discos, precisamos expressar o raio do disco em função da variável
(eixo do parafuso). A base do triângulo tem altura variável de 0 em
até 1 cm em
, de modo que
Passo 3
e a área de um disco de espessura
é
Agora montamos o volume total integrando de
[V=\int_{0}{12}\pi\Bigl(\tfrac12x\Bigr)2dx=\frac{\pi}{4}\int_{0}{12}x2dx,.$$
Basta calcular essa integral: