Exercício 1.13 Esboce a curva de nivel f(x, y)=C, para cada C dada
(c) f(x, y)=y^{2}+(x-1)^{2}, C=-3, C=1, C=4.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar as curvas de nível da função
f(x,y)=y^{2}+(x-1)^{2}
correspondentes aos valores C=-3, C=1 e C=4. O conteúdo é geometria analítica em \mathbb{R}^2: reconhecer que f(x,y)=C define círculos (ou vazio) e determinar centro e raio.

Passo 2

Observamos que
y^{2}+(x-1)^{2}\ge0
para todo (x,y). Logo, se C<0 não há solução real, e se C\ge0 a equação
(x-1)^{2}+y^{2}=C
é a equação de um círculo de centro (1,0) e raio \sqrt{C}.

Passo 3

Para C=-3, temos y^{2}+(x-1)^{2}=-3, o que não é possível em \mathbb{R}. Portanto não existe curva de nível real.

Passo 4

Para C=1, a curva de nível é
(x-1)^{2}+y^{2}=1,
ou seja, um círculo de centro (1,0) e raio \sqrt{1}=1.

Passo 5

Para C=4, a curva de nível é
(x-1)^{2}+y^{2}=4,
ou seja, um círculo de centro (1,0) e raio \sqrt{4}=2.

Resposta

Para C=-3: não há curva de nível.
Para C=1: círculo de centro (1,0) e raio 1.
Para C=4: círculo de centro (1,0) e raio 2.

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