Exercício 11. Fatore completamente os polinômios dados a seguir.
3 x^4+18 x^3-27 x^2-42 x

Passo 1

O enunciado pede para fatorar completamente o polinômio
3x^4 + 18x^3 - 27x^2 - 42x
O conteúdo envolvido é fatoração de polinômios de grau superior: primeiro extraímos fator comum e depois usamos o Teorema das Raízes Racionais (ou Teorema do Resto) para descobrir fatores lineares.

Passo 2

Extraímos o fator comum em todos os termos. Como cada coeficiente é divisível por 3 e todos os termos têm pelo menos um x, temos
3x^4 + 18x^3 - 27x^2 - 42x = 3xl(x^3 + 6x^2 - 9x - 14r)

Passo 3

Para fatorar o polinômio cúbico x^3 + 6x^2 - 9x - 14, testamos raízes racionais candidatas pm1,pm2,pm7,pm14. Verificamos que x=2 zera o polinômio pois
2^3 + 6cdot2^2 - 9cdot2 - 14 = 8 + 24 - 18 - 14 = 0
Logo (x-2) é fator. Fazendo a divisão
x^3 + 6x^2 - 9x - 14 = (x-2),(x^2 + 8x + 7)

Passo 4

Agora fatoramos o trinômio quadrático x^2 + 8x + 7. Buscamos dois números cuja soma seja 8 e produto seja 7; são 1 e 7. Portanto
x^2 + 8x + 7 = (x + 1),(x + 7)

Resposta

3x^4 + 18x^3 - 27x^2 - 42x = 3x,(x - 2),(x + 1),(x + 7)

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