Problema 68 Em um município, após uma pesquisa de opinião, constatou-se que o número de eleitores dos candidatos A e B variavam em função do tempo t, em anos, de acordo com as seguintes funções exponenciais A(t)=2 * 10^5(1,6)^t e B(t)=4 * 10^5(0,4)^t. Considerando as estimativas corretas e que t=0 refere-se ao dia 1^circ de janeiro de 2015
a) Calcule o número de eleitores dos candidatos A e B em 1^circ de janeiro de 2015.
b) Determine em quantos meses os candidatos terão o mesmo número de eleitores.

Passo 1

O enunciado dá as funções exponenciais
A(t)=2times10^5,(1,6)^t,
B(t)=4times10^5,(0,4)^t
para o número de eleitores dos candidatos A e B em função de t (anos) desde 1º de janeiro de 2015. Pede-se (a) os valores em t=0 e (b) quando A(t)=B(t). Vamos usar propriedades de potências e logaritmos.

Passo 2

Para t=0 temos (1,6)^0=(0,4)^0=1. Logo
A(0)=2times10^5cdot1=2times10^5=200,000,
B(0)=4times10^5cdot1=4times10^5=400,000

Passo 3

Para achar t tal que A(t)=B(t), escrevemos
2times10^5,(1,6)^t ;=;4times10^5,(0,4)^t
Dividindo ambos os lados por 2times10^5,(0,4)^t, obtemos
(1,6)^t(0,4)^t=2

Passo 4

Como tfrac1,60,4=4, a equação vira
4^t=2
Aplicando logaritmo natural,
tln(4)=ln(2) Longrightarrow t=ln(2)ln(4)=tfrac12

Passo 5

O resultado t=tfrac12 está em anos. Convertendo para meses:
tfrac12 anotimes12;meses/ano=6 meses

Resposta

(a) A(0)=200,000 eleitores e B(0)=400,000 eleitores.
(b) Eles têm o mesmo número de eleitores após 6 meses.

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