Seja n>0 um número natural. Prove que f(x)=x^n é contínua. Dica: prove que se n é ímpar: a^n<x^n<b^n se e somente se a^1 / n<x<b^1 / n; se n é par: a^n<x^n<b^n se e somente se |a|^1 / n<x<|b|^1 / n ou -|b|^1 / n<x<-|a|^1 / n. Comece estudando os casos n=2 e n=3.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
fcolon RtoR, f(x)=x^n
é contínua para todo ninN, n>0.
Vamos usar a definição topológica de continuidade: mostrar que, para qualquer intervalo aberto IsubsetR, o conjunto f^-1(I) é aberto.
A dica nos orienta a entender bem as desigualdades
a^n < x^n < b^n
nos casos n par e n ímpar. Primeiro tratamos os casos-base n=2 e n=3, depois generalizamos, e por fim concluímos que todo intervalo aberto puxa para um conjunto aberto pela função xmapsto x^n.

Passo 2

Caso n=2. Queremos provar
a^2 < x^2 < b^2 Long<=ftrightarrow |a| < |x| < |b|
De fato, para qualquer real y>=0 temos y^2< b^2iff y<b, e como |x|>=0 então
|x|<|b|iff x^2< b^2
Analogamente, a^2< x^2iff |a|<|x|.
Logo
x : a^2<x^2<b^2 =x : |a|<|x|<|b| =(-|b|,-|a|);cup;(|a|,|b|),
que é união de dois intervalos abertos.

Passo 3

Caso n=3. A função xmapsto x^3 é estritamente crescente em R. Portanto
a^3<x^3<b^3 Long<=ftrightarrow a<x<b
Isto mostra que
x : a^3<x^3<b^3 = (a,b),
que é aberto.

Passo 4

Generalizando para n ímpar: a função xmapsto x^n é estritamente crescente em R, logo inverte desigualdades mantendo sentido. Assim, para quaisquer a<b
x : a^n<x^n<b^n = (a,b),
um intervalo aberto.

Passo 5

Generalizando para n par: a função xmapsto x^n é par e estritamente crescente em [0,infty), estritamente decrescente em (-infty,0]. Pelo mesmo raciocínio de n=2 obtemos
x : a^n<x^n<b^n =(-,b^1/n,-,a^1/n);cup;(a^1/n,b^1/n),
que é união de dois abertos.

Passo 6

Como todo intervalo aberto típico (A,B) pode ser escrito em termos de potências, e já vimos que o pré-imagem pela potência é sempre união de intervalos abertos, concluímos que para todo aberto IsubsetR o conjunto f^-1(I) é aberto.

Resposta

A função f(x)=x^n é contínua em R para todo ninN, n>0.

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