Seja
um número natural. Prove que
é contínua. Dica: prove que se
é ímpar:
se e somente se
; se
é par:
se e somente se
ou
. Comece estudando os casos
e
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é contínua para todo
,
.
Vamos usar a definição topológica de continuidade: mostrar que, para qualquer intervalo aberto , o conjunto
é aberto.
A dica nos orienta a entender bem as desigualdades
Vamos usar a definição topológica de continuidade: mostrar que, para qualquer intervalo aberto
A dica nos orienta a entender bem as desigualdades
nos casos
par e
ímpar. Primeiro tratamos os casos-base
e
, depois generalizamos, e por fim concluímos que todo intervalo aberto puxa para um conjunto aberto pela função
.
Passo 2
Caso
. Queremos provar
De fato, para qualquer real
temos
, e como
então
Analogamente,
.
Logo
Logo
que é união de dois intervalos abertos.
Passo 3
Caso
. A função
é estritamente crescente em
. Portanto
Isto mostra que
que é aberto.
Passo 4
Generalizando para
ímpar: a função
é estritamente crescente em
, logo inverte desigualdades mantendo sentido. Assim, para quaisquer
um intervalo aberto.
Passo 5
Generalizando para
par: a função
é par e estritamente crescente em
, estritamente decrescente em
. Pelo mesmo raciocínio de
obtemos
que é união de dois abertos.
Passo 6
Como todo intervalo aberto típico
pode ser escrito em termos de potências, e já vimos que o pré-imagem pela potência é sempre união de intervalos abertos, concluímos que para todo aberto
o conjunto
é aberto.
Resposta
A função
é contínua em
para todo
,
.