Exercício 11. Fatore completamente os polinômios dados a seguir.
3 x^5+4 x^4-14 x^3-2 x^2-17 x-6

Passo 1

O enunciado pede para fatorar completamente o polinômio
f(x)=3x^5+4x^4-14x^3-2x^2-17x-6
O conteúdo aqui é fatoração de polinômios inteiros. Vamos usar o Teorema das raízes racionais para encontrar possíveis raízes da forma pm p/q e, depois, divisão sintética para reduzir o grau.

Passo 2

Pelo Teorema das raízes racionais, qualquer raiz pq de f(x) tem p divisor de -6 e q divisor de 3. Assim, as possibilidades são
pm1, pm2, pm3, pm6, pm13, pm23

Passo 3

Testando valores inteiros fáceis, temos
f(2)=3cdot2^5+4cdot2^4-14cdot2^3-2cdot2^2-17cdot2-6 =96+64-112-8-34-6=0
Logo, x=2 é raiz e (x-2) é fator de f(x).

Passo 4

Fazendo divisão sintética de por :
O resto é zero e o quociente é
Portanto

Passo 5

Note que q(x)=3x^4+10x^3+6x^2+10x+3 é um polinômio palindrômico (coeficientes simétricos). Podemos tentar fatorar
q(x)=(3x^2+ax+3)(x^2+bx+1)
Expandindo e igualando coeficientes chega-se a
q(x)=(3x^2+10x+3)(x^2+1)

Passo 6

O trinômio 3x^2+10x+3 tem discriminante De<a=10^2-4cdot3cdot3=64, raízes
x=-10pm86=-3,,-tfrac13,
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3x^2+10x+3=(3x+1)(x+3)
Assim, juntando tudo,
f(x)=(x-2),(3x+1),(x+3),(x^2+1)

Resposta

(x-2)(3x+1)(x+3)(x^2+1)

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