Exercício 11. Fatore completamente os polinômios dados a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para fatorar completamente o polinômio
O conteúdo aqui é fatoração de polinômios inteiros. Vamos usar o Teorema das raízes racionais para encontrar possíveis raízes da forma
e, depois, divisão sintética para reduzir o grau.
Passo 2
Pelo Teorema das raízes racionais, qualquer raiz
de
tem
divisor de
e
divisor de
. Assim, as possibilidades são
Passo 3
Testando valores inteiros fáceis, temos
Logo,
é raiz e
é fator de
.
Passo 4
Fazendo divisão sintética de
por
:
O resto é zero e o quociente é
Portanto
Passo 5
Note que
é um polinômio palindrômico (coeficientes simétricos). Podemos tentar fatorar
Expandindo e igualando coeficientes chega-se a
Passo 6
O trinômio
tem discriminante
, raízes
logo
Assim, juntando tudo,