Prove que as funções abaixo são contínuas (em todos os pontos):
com regra
,
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos provar que a função
é contínua em todo ponto de
.
Conteúdo: continuidade via definição –
e a desigualdade triangular.
Conteúdo: continuidade via definição
Passo 2
Seja
um ponto arbitrário. Para mostrar que
é contínua em
, tomamos um
e queremos encontrar
tal que
Passo 3
Observe que, pela desigualdade triangular reversa (ou desigualdade de Lipschitz para valor absoluto), temos
Passo 4
Dado
varepsilon>0 , escolha
Então, sempre que
lvert x - x0rvert < de<a , vem
Passo 5
Como
x0 era arbitrário, mostramos que para todo ponto da reta real e para todo
varepsilon>0 existe
de<a>0 satisfazendo a definição de continuidade.
Resposta
A função
f(x)=lvert 2x+1rvert é contínua em todos os pontos de
R .