Prove que as funções abaixo são contínuas (em todos os pontos):
f: R R com regra f(x)=|2 x+1|,

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos provar que a função
fcolon RtoR, f(x)=lvert 2x+1rvert
é contínua em todo ponto de R.
Conteúdo: continuidade via definição epsilon de<a e a desigualdade triangular.

Passo 2

Seja x0inR um ponto arbitrário. Para mostrar que f é contínua em x0, tomamos um varepsilon>0 e queremos encontrar de<a>0 tal que
lvert x - x0rvert < de<a Longrightarrow lvert f(x)-f(x0)rvert < varepsilon

Passo 3

Observe que, pela desigualdade triangular reversa (ou desigualdade de Lipschitz para valor absoluto), temos
llvert,lvert 2x+1rvert - lvert 2x0+1rvertrrvert <= llvert (2x+1)-(2x0+1)rrvert = 2,lvert x - x0rvert

Passo 4

Dado varepsilon>0, escolha
de<a = varepsilon2
Então, sempre que lvert x - x0rvert < de<a, vem
lvert f(x)-f(x0)rvert <= 2,lvert x - x0rvert < 2,de<a = 2cdotvarepsilon2 = varepsilon

Passo 5

Como x0 era arbitrário, mostramos que para todo ponto da reta real e para todo varepsilon>0 existe de<a>0 satisfazendo a definição de continuidade.

Resposta

A função f(x)=lvert 2x+1rvert é contínua em todos os pontos de R.

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