f(x)=cc3 x-1, & se x <= 0, -1, & se x>0, é contínua em 0? Prove.

Passo 1

O enunciado define
f(x)= 3x-1, & se x<=0, -1, & se x>0,
e pergunta se f é contínua em 0.
Para isso usamos a definição: f é contínua em x=0 se
limxto0^-f(x) = limxto0^+f(x) = f(0)

Passo 2

Calcular o valor de f em 0. Como 0<=0, vale o primeiro ramo, logo
f(0)=3cdot0-1=-1

Passo 3

Calcular o limite à esquerda, isto é, limxto0^-f(x). Para x<0 temos f(x)=3x-1, então
limxto0^-f(x) =limxto0^-(3x-1) =3cdot0-1 =-1

Passo 4

Calcular o limite à direita, isto é, limxto0^+f(x). Para x>0 temos f(x)=-1 constante, logo
limxto0^+f(x)=-1

Passo 5

Como
limxto0^-f(x) =limxto0^+f(x) =-1 =f(0),
atende-se exatamente à definição de continuidade em 0.

Resposta

Sim. A função f é contínua em 0 porque os limites laterais existem e coincidem com f(0).

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