Exercício 11. Fatore completamente os polinômios dados a seguir.
4 x^4+3 x^2-1

Passo 1

O enunciado pede para fatorar completamente o polinômio
4x^4 + 3x^2 - 1
A ideia é reconhecer que ele é quadrático em x^2 e usar a substituição t = x^2, aplicando depois a fórmula de Bhaskara para resolver em t.

Passo 2

Fazendo a troca t = x^2, temos
4x^4 + 3x^2 - 1 = 4t^2 + 3t - 1

Passo 3

Para fatorar 4t^2 + 3t - 1, calculamos o discriminante
De<a = b^2 - 4ac = 3^2 - 4cdot4cdot(-1) = 9 + 16 = 25
As raízes em t são
t1,2 = -3 pm raiz252cdot4 = -3 pm 58,
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t1 = -3 + 58 = 14, t2 = -3 - 58 = -1

Passo 4

Escrevendo a fatoração em t:
4t^2 + 3t - 1 = 4l(t - tfrac14r),(t + 1) = (4t - 1),(t + 1)
Voltando a x com t = x^2:
4x^4 + 3x^2 - 1 = (4x^2 - 1),(x^2 + 1)

Passo 5

O fator 4x^2 - 1 é diferença de quadrados, pois
4x^2 - 1 = (2x)^2 - 1^2 = (2x - 1),(2x + 1)
Assim chegamos à fatoração completa.

Resposta

(2x - 1),(2x + 1),(x^2 + 1)

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