Exercício 9. (Apostol seção 12.21 exercício 1) Seja S a superfície do cubo unitário 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1 e 0 <= z <= 1 e seja n a normal que aponta para fora do cubo. Se F: R^3 R^3 é dado por F(x, y, z)=(x^2, y^2, z^2), use o teorema da divergência para calcular a integral de superfície integral duplaS F n d S. Verifique o resultado calculando a integral de superfície diretamente.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral duplaSFcdot n,dS
onde S é a superfície do cubo unitário 0<= x,y,z<=1, com a normal n apontando para fora, e
F(x,y,z)=(x^2,y^2,z^2)
Vamos primeiro usar o Teorema da Divergência para transformar essa integral de superfície numa integral de volume, e depois verificar o resultado fazendo o cálculo direto em cada face do cubo.

Passo 2

Pelo Teorema da Divergência,
integral duplaSFcdot n,dS=integral triplaVnablacdot F,dV,
onde V é o interior do cubo. Calculamos
nablacdot F=partialpartial x(x^2)+partialpartial y(y^2)+partialpartial z(z^2)=2x+2y+2z
Então
integral triplaV(2x+2y+2z),dV =2l(integral triplaVx,dV+integral triplaVy,dV+integral triplaVz,dVr)
Como em V cada coordenada varia de 0 a 1, temos
integral triplaVx,dV=integral0^1integral0^1integral0^1x,dx,dy,dz =integral0^1l[tfrac12x^2r]0^1dy,dz =tfrac12,
e o mesmo para integral triplaVy,dV e integral triplaVz,dV. Logo
integral triplaV(2x+2y+2z),dV =2l(tfrac12+tfrac12+tfrac12r) =3

Passo 3

Agora podemos verificar fazendo o cálculo direto em cada face do cubo. Há seis faces:
  1. Face x=0: n=(-1,0,0), F=(0,y^2,z^2) logo Fcdot n=0, integral dá 0.
  2. Face x=1: n=(1,0,0), F=(1,y^2,z^2) logo Fcdot n=1. integral duplay,zin[0,1]1,dy,dz=1
  3. Face y=0: n=(0,-1,0), F=(x^2,0,z^2) dá 0.
  4. Face y=1: n=(0,1,0), F=(x^2,1,z^2) Fcdot n=1, área é 1.
  5. Face z=0: n=(0,0,-1), F=(x^2,y^2,0) dá 0.
  6. Face z=1: n=(0,0,1), F=(x^2,y^2,1) Fcdot n=1, área é 1.
Somando as contribuições não nulas: 1+1+1=3, que confere com o resultado pelo Teorema da Divergência.

Resposta

integral duplaSFcdot n,dS=3

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