Exercício 9. (Apostol seção 12.21 exercício 1) Seja
a superfície do cubo unitário
e seja
a normal que aponta para fora do cubo. Se
é dado por
, use o teorema da divergência para calcular a integral de superfície
. Verifique o resultado calculando a integral de superfície diretamente.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é a superfície do cubo unitário
, com a normal
apontando para fora, e
Vamos primeiro usar o Teorema da Divergência para transformar essa integral de superfície numa integral de volume, e depois verificar o resultado fazendo o cálculo direto em cada face do cubo.
Passo 2
Pelo Teorema da Divergência,
onde
é o interior do cubo. Calculamos
Então
Como em
cada coordenada varia de 0 a 1, temos
e o mesmo para
e
. Logo
Passo 3
Agora podemos verificar fazendo o cálculo direto em cada face do cubo. Há seis faces:
- Face
: , logo , integral dá 0. - Face
: , logo . - Face
: , dá 0. - Face
: , dá , área é 1. - Face
: , dá 0. - Face
: , dá , área é 1.
Somando as contribuições não nulas:
, que confere com o resultado pelo Teorema da Divergência.