Seja
a região do plano
delimitada pelas curvas
e
. Seja
o sólido obtido por rotação de
em torno do eixo
.
(a) Esboce
e calcule sua área.
(b) Expresse, por meio de uma integral, o volume de
, pelo método das cascas ou das fatias.
(a) Esboce
(b) Expresse, por meio de uma integral, o volume de
Passo 1
O enunciado dá a região
do plano limitada pelas curvas
e
. Queremos (a) esboçar
e calcular sua área e (b) rotacionar
em torno do eixo
para obter o sólido
e expressar seu volume por integral. O conteúdo é integração de regiões planas e método dos discos (anéis) para volumes de revolução.
Passo 2
Para encontrar os pontos de interseção, substituímos
em
, obtendo
logo
ou
. Para cada
, a fronteira esquerda de
é
e a direita é
.
Passo 3
A área de
é
Calculando a primitiva,
e avaliando de
a
obtemos
Passo 4
Para o volume de
pelo método dos discos (anéis), usamos fatias horizontais: ao rotacionar em torno do eixo
, cada fatia em nível
gera um anel de
raio externo
raio externo
e raio interno
Passo 5
Portanto, o volume resulta na integral
Resposta
Área de
:
Volume de
: