Seja R a região do plano x y delimitada pelas curvas y=x-2 e x=y^2. Seja S o sólido obtido por rotação de R em torno do eixo y.
(a) Esboce R e calcule sua área.
(b) Expresse, por meio de uma integral, o volume de S, pelo método das cascas ou das fatias.

Passo 1

O enunciado dá a região R do plano limitada pelas curvas y = x - 2 e x = y^2. Queremos (a) esboçar R e calcular sua área e (b) rotacionar R em torno do eixo y para obter o sólido S e expressar seu volume por integral. O conteúdo é integração de regiões planas e método dos discos (anéis) para volumes de revolução.

Passo 2

Para encontrar os pontos de interseção, substituímos x = y^2 em y = x - 2, obtendo
y = y^2 - 2 Longrightarrow y^2 - y - 2 = 0 Longrightarrow (y-2)(y+1)=0,
logo y=-1 ou y=2. Para cada yin[-1,2], a fronteira esquerda de R é xrm parábola=y^2á e a direita é xrm reta=y+2.

Passo 3

A área de R é
integraly=-1^2l(xrm reta-xrm parábolar),dy =integral-1^2l((y+2)-y^2r),dy á
Calculando a primitiva,
integral(y+2-y^2),dy =y^22+2y-y^33,
e avaliando de -1 a 2 obtemos
l[tfracy^22+2y-tfracy^33r]-1^2 =l(2+4-tfrac83r)-l(tfrac12-2+tfrac13r) =92

Passo 4

Para o volume de S pelo método dos discos (anéis), usamos fatias horizontais: ao rotacionar em torno do eixo y, cada fatia em nível y gera um anel de
raio externo
Rrm ext=xrm reta=y+2
e raio interno
Rrm int=xrm parábola=y^2 á

Passo 5

Portanto, o volume resulta na integral
V=piintegraly=-1^2l[(y+2)^2-l(y^2r)^2r],dy

Resposta

Área de R: 92
Volume de S: V = pi integral-1^2l[(y+2)^2 - y^4r] , dy

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