Exercício 11. ( oo,30 ponto cada item ) Encontrar a função primeira derivada das seguintes funções:
;
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a sua primeira derivada, isto é,
. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O numerador é
. - O denominador é
. - A função está indefinida quando
(ou seja, em , ), então a derivada também só faz sentido onde .
Não resolvo nada neste passo; apenas identifiquei o que foi dado e o que se pede.
Passo 2
Escolha do método: vou reescrever a função usando
, obtendo
Por que isso ajuda? Porque agora é produto de duas funções:
e
. Para derivar um produto usamos a regra do produto:
Essa regra é básica e costuma ser mais direta do que aplicar a regra do quociente aqui; por isso a escolhi. (Se preferir, dá para aplicar a regra do quociente diretamente e chegar ao mesmo resultado — depois eu mostro como comparar.)
Passo 3
Vou explicar as derivadas que vamos precisar:
- Regra da potência (caso simples): a derivada de
em relação a é
Aqui usei a regra
aplicada à função interna
; como
, o resultado fica
.
- Derivada de
: escrevendo e usando a regra do quociente resulta (ou lembrando a fórmula padrão)
Posso mostrar rapidamente a conta curta:
. Derivando:
Então já temos as duas derivadas básicas que precisamos.
Passo 4
Agora aplico a regra do produto com
e
.
-
. -
.
Pela regra do produto:
Escrevendo de forma limpa:
Passo 5
Podemos fazer uma fatoração para deixar a resposta mais compacta e fácil de usar na prova. Fatorando
em evidência obtemos:
Essa forma é útil porque mostra claramente o fator polinomial e a parte trigonométrica separadas.
Passo 6
Opcional — verificar equivalência com a regra do quociente (curta checagem): se aplicássemos a regra do quociente a
com
e
, teríamos
Fazendo as manipulações trigonométricas (usar
e
, etc.) essa expressão é algebraicamente equivalente à que obtivemos antes; portanto as duas abordagens dão o mesmo resultado.
Passo 7
Observações finais e dica de prova: lembre-se de que todas as expressões só valem quando
(ou seja,
,
). Na prova, reescrever um quociente envolvendo
como produto com
costuma economizar trabalho e evitar frações desnecessárias. Força aí — você já tem a resposta e o raciocínio completo!
Resposta
ou, fatorada,