Exercício 11. ( oo,30 ponto cada item ) Encontrar a função primeira derivada das seguintes funções:
f(t)=\frac{(t+1)^{3}}{\tan (t)};

Passo 1

O enunciado dá a função
f(t)=\frac{(t+1)^{3}}{\tan(t)}
e pede a sua primeira derivada, isto é, f'(t). Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O numerador é (t+1)^{3}.
  • O denominador é \tan(t).
  • A função está indefinida quando \tan(t)=0 (ou seja, em t=k\pi, k\in\mathbb{Z}), então a derivada também só faz sentido onde \tan(t)\neq0.
    Não resolvo nada neste passo; apenas identifiquei o que foi dado e o que se pede.

Passo 2

Escolha do método: vou reescrever a função usando \cot(t)=1/\tan(t), obtendo
f(t)=(t+1)^{3}\,\cot(t).
Por que isso ajuda? Porque agora é produto de duas funções: u(t)=(t+1)^{3} e v(t)=\cot(t). Para derivar um produto usamos a regra do produto:
\text{(regra do produto)}\qquad (uv)'=u'v+uv'.
Essa regra é básica e costuma ser mais direta do que aplicar a regra do quociente aqui; por isso a escolhi. (Se preferir, dá para aplicar a regra do quociente diretamente e chegar ao mesmo resultado — depois eu mostro como comparar.)

Passo 3

Vou explicar as derivadas que vamos precisar:
  • Regra da potência (caso simples): a derivada de (t+1)^{3} em relação a t é
\frac{d}{dt}\big((t+1)^{3}\big)=3(t+1)^{2}\cdot\frac{d}{dt}(t+1)=3(t+1)^{2}\cdot 1=3(t+1)^{2}.
Aqui usei a regra \frac{d}{dt}(x^{n})=n x^{n-1} aplicada à função interna x=t+1; como \frac{d}{dt}(t+1)=1, o resultado fica 3(t+1)^2.
  • Derivada de \cot(t): escrevendo \cot(t)=\dfrac{\cos(t)}{\sin(t)} e usando a regra do quociente resulta (ou lembrando a fórmula padrão)
\frac{d}{dt}\big(\cot(t)\big)=-\csc^{2}(t).
Posso mostrar rapidamente a conta curta: \cot(t)=\cos(t)/\sin(t). Derivando:
\frac{d}{dt}\cot(t)=\frac{-\sin(t)\cdot\sin(t)-\cos(t)\cdot\cos(t)}{\sin^{2}(t)}=\frac{-(\sin^{2}t+\cos^{2}t)}{\sin^{2}t}=-\frac{1}{\sin^{2}t}=-\csc^{2}(t).
Então já temos as duas derivadas básicas que precisamos.

Passo 4

Agora aplico a regra do produto com u(t)=(t+1)^3 e v(t)=\cot(t).
  • u'(t)=3(t+1)^{2}.
  • v'(t)=-\csc^{2}(t).
    Pela regra do produto:
f'(t)=u'(t)v(t)+u(t)v'(t)=3(t+1)^{2}\cot(t)+(t+1)^{3}\big(-\csc^{2}(t)\big).
Escrevendo de forma limpa:
f'(t)=3(t+1)^{2}\cot(t)-(t+1)^{3}\csc^{2}(t).

Passo 5

Podemos fazer uma fatoração para deixar a resposta mais compacta e fácil de usar na prova. Fatorando (t+1)^{2} em evidência obtemos:
f'(t)=(t+1)^{2}\Big(3\cot(t)-(t+1)\csc^{2}(t)\Big).
Essa forma é útil porque mostra claramente o fator polinomial e a parte trigonométrica separadas.

Passo 6

Opcional — verificar equivalência com a regra do quociente (curta checagem): se aplicássemos a regra do quociente a f(t)=\dfrac{g(t)}{h(t)} com g(t)=(t+1)^3 e h(t)=\tan(t), teríamos
f'(t)=\frac{g'(t)h(t)-g(t)h'(t)}{h^{2}(t)}=\frac{3(t+1)^{2}\tan(t)-(t+1)^{3}\operatorname{sec}^{2}(t)}{\tan^{2}(t)}.
Fazendo as manipulações trigonométricas (usar \cot=1/\tan e \csc^{2}=1/\sin^{2}, etc.) essa expressão é algebraicamente equivalente à que obtivemos antes; portanto as duas abordagens dão o mesmo resultado.

Passo 7

Observações finais e dica de prova: lembre-se de que todas as expressões só valem quando \tan(t)\neq0 (ou seja, t\neq k\pi, k\in\mathbb{Z}). Na prova, reescrever um quociente envolvendo \tan como produto com \cot costuma economizar trabalho e evitar frações desnecessárias. Força aí — você já tem a resposta e o raciocínio completo!

Resposta

f'(t)=3(t+1)^{2}\cot(t)-(t+1)^{3}\csc^{2}(t)
ou, fatorada,
f'(t)=(t+1)^{2}\Big(3\cot(t)-(t+1)\csc^{2}(t)\Big)

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