Exercício 8. ( oo, so ponto ) Sejam B \subseteq \mathbb{R} e a \in B um ponto para o qual existe uma vizinhança A \ni a cumprindo A \subseteq B.
Sejam ainda g: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} derivável em B e f: B \longrightarrow \mathbb{R} dada por
f(x)=\left\{\begin{aligned} \frac{g(x)-g(a)}{x-a}, & \text { se } \quad x \neq a \\\ g^{\prime}(a), & \text { se } \quad x=a \end{aligned}\right.
Mostrar de forma justificada que a função f é contínua em a.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
Dados: B\subseteq\mathbb{R}\) e \(a\in B\) tal que existe uma vizinhança \(A\) de \(a\) com \(A\subseteq B\).
- A função \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) é derivável em \(B\).
- A função \(f:B\to\mathbb{R}\) é definida por
\[f(x)=\begin{cases} \displaystyle\frac{g(x)-g(a)}{x-a}, & \text{se } x\neq a,\\[6pt] g'(a), & \text{se } x=a. \end{cases}
Pergunta: Mostrar, de forma justificada, que f\] é contínua em \(a.]
Passo 2
Lembraremos o que significa cada conceito que vamos usar (explicado devagarinho):
Definição de continuidade em a: dizer que f é contínua em a significa que
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Isto quer dizer: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-a|<\delta (ou apenas |x-a|<\delta, incluindo x=a), segue |f(x)-f(a)|<\varepsilon.
Definição de derivada em a: g é derivável em a e g'(a) é dado por
g'(a)=\lim_{x\to a}\frac{g(x)-g(a)}{x-a}.
Isto quer dizer: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-a|<\delta, tem-se
A variável \varepsilon é a margem de erro desejada no valor da função; \delta é a tolerância na aproximação de x a a.
Passo 3
Observe a forma de f: para x\neq a temos exatamente
f(x)=\frac{g(x)-g(a)}{x-a}.
Logo, quando consideramos o limite \lim_{x\to a} f(x) estamos calculando o mesmo limite da definição da derivada de g em a. Como g é derivável em a, esse limite existe e é igual a g'(a). Um detalhe importante: o enunciado garante que existe uma vizinhança A de a contida em B, então para x suficientemente próximo de a (mas x\neq a) o quociente \dfrac{g(x)-g(a)}{x-a} está bem definido e pertence ao domínio de f. Portanto
Além disso, para x=a temos trivialmente |f(a)-f(a)|=0<\varepsilon. Assim, para todo x com |x-a|<\delta (incluindo x=a) segue |f(x)-f(a)|<\varepsilon. Isso é exatamente a definição de continuidade de f em a.
Passo 5
Portanto mostramos que \lim_{x\to a} f(x)=f(a)=g'(a), com justificativa \varepsilon-\delta. Conclusão direta: f é contínua em a.
Resposta
\lim_{x\to a} f(x)=g'(a), portanto f é contínua em a.