Exercício 12. ( oo, 85 ponto ) É dada a função
por
Existiriam valores que dados às constantes
fariam a função
derivável em
? Explicar justificadamente.
Passo 1
O enunciado dá a função definida por partes
com
. A pergunta é: existiriam valores de
e
que tornassem
derivável em
?
Informações relevantes do enunciado que vamos usar:
Informações relevantes do enunciado que vamos usar:
- A expressão de
à direita de (para ) é . - A expressão de
à esquerda de (para ) é . - Precisamos estudar a derivabilidade de
em .]
Passo 2
Lembrete didático: o que significa ser derivável em
?
- Para uma função ser derivável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto e as derivadas laterais (direita e esquerda) nesse ponto devem existir e ser iguais.
- A continuidade em
exige que o limite pela esquerda em e o limite pela direita em existam e coincidam com o valor . - A derivada lateral pela esquerda em
é o limite
e pela direita é
Na prática, quando cada ramo é uma função elementar (linear ou polinomial), suas derivadas são as derivadas usuais avaliadas em
. Vou usar isso: a derivada de
é
em toda parte, e a derivada de
é
em toda parte.
Passo 3
Primeiro condição: continuidade em
.
- O valor da função em
vem do ramo que inclui , ou seja, . Calculando:
- O limite pela esquerda em
é o valor do ramo linear em , isto é .
Para continuidade precisamos que
Essa é a equação de continuidade.
Passo 4
Segunda condição: igualdade das derivadas laterais em
.
- Derivada do ramo à esquerda (
): se então . Assim a derivada lateral à esquerda em é . - Derivada do ramo à direita (
): se então . Avaliando em obtemos .
Para derivabilidade precisamos que as duas derivadas coincidam, logo
Passo 5
Agora resolvemos o sistema formado pelas duas condições encontradas:
Substituindo
na segunda equação:
Logo obtemos
e
.]
Passo 6
Verificação final (sempre bom checar): com
e
,
- limite à esquerda em
: ; - valor em
: ; - derivada à esquerda:
; - derivada à direita:
.
Portanto a continuidade e a igualdade das derivadas são satisfeitas, e a função é derivável emexatamente para esses valores. Esses valores são únicos (as equações impuseram e de forma determinada).