Exercício 12. ( oo, 85 ponto ) É dada a função h: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} por
h(x)=\left\{\begin{array}{rcc} -2 x^{2}-1, & \text { se } & 2 \leq x \\\ c x+d, & \text { se } & x<2 \end{array}\right.
Existiriam valores que dados às constantes c, d \in \mathbb{R} fariam a função h derivável em x=2 ? Explicar justificadamente.

Passo 1

O enunciado dá a função definida por partes
h(x)=\begin{cases} -2x^{2}-1, & \text{se } 2\le x,\\[4pt] cx+d, & \text{se } x<2, \end{cases}
com c,d\in\mathbb{R}. A pergunta é: existiriam valores de c e d que tornassem h derivável em x=2?
Informações relevantes do enunciado que vamos usar:
  • A expressão de h à direita de x=2 (para x\ge2) é -2x^{2}-1.
  • A expressão de h à esquerda de x=2 (para x<2) é cx+d.
  • Precisamos estudar a derivabilidade de h em x=2.]

Passo 2

Lembrete didático: o que significa ser derivável em x=2?
  • Para uma função ser derivável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto e as derivadas laterais (direita e esquerda) nesse ponto devem existir e ser iguais.
  • A continuidade em x=2 exige que o limite pela esquerda em 2 e o limite pela direita em 2 existam e coincidam com o valor h(2).
  • A derivada lateral pela esquerda em 2 é o limite
\lim_{x\to2^-}\frac{h(x)-h(2)}{x-2},
e pela direita é
\lim_{x\to2^+}\frac{h(x)-h(2)}{x-2}.
Na prática, quando cada ramo é uma função elementar (linear ou polinomial), suas derivadas são as derivadas usuais avaliadas em x=2. Vou usar isso: a derivada de cx+d é c em toda parte, e a derivada de -2x^{2}-1 é -4x em toda parte.

Passo 3

Primeiro condição: continuidade em x=2.
  • O valor da função em x=2 vem do ramo que inclui 2, ou seja, h(2)= -2\cdot 2^{2}-1. Calculando:
h(2) = -2\cdot 4 -1 = -8-1 = -9.
  • O limite pela esquerda em 2 é o valor do ramo linear em x\to2^{-}, isto é \lim_{x\to2^-}h(x)=c\cdot 2 + d = 2c+d.
    Para continuidade precisamos que
2c+d = -9.
Essa é a equação de continuidade.

Passo 4

Segunda condição: igualdade das derivadas laterais em x=2.
  • Derivada do ramo à esquerda ( x<2): se h(x)=cx+d então \dfrac{d}{dx}(cx+d)=c. Assim a derivada lateral à esquerda em 2 é c.
  • Derivada do ramo à direita ( x>2): se h(x)=-2x^{2}-1 então \dfrac{d}{dx}(-2x^{2}-1)=-4x. Avaliando em x=2 obtemos -4\cdot 2=-8.
    Para derivabilidade precisamos que as duas derivadas coincidam, logo
c = -8.

Passo 5

Agora resolvemos o sistema formado pelas duas condições encontradas:
\begin{cases} c = -8,\\[4pt] 2c + d = -9. \end{cases}
Substituindo c=-8 na segunda equação:
2\cdot(-8)+d = -9 \Longrightarrow -16 + d = -9 \Longrightarrow d = -9 +16 = 7.
Logo obtemos c=-8 e d=7.]

Passo 6

Verificação final (sempre bom checar): com c=-8 e d=7,
  • limite à esquerda em 2: 2c+d = 2\cdot(-8)+7 = -16+7=-9;
  • valor em 2: h(2)=-9;
  • derivada à esquerda: c=-8;
  • derivada à direita: -4\cdot 2=-8.
    Portanto a continuidade e a igualdade das derivadas são satisfeitas, e a função é derivável em x=2 exatamente para esses valores. Esses valores são únicos (as equações impuseram c e d de forma determinada).

Resposta

c=-8
d=7

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