Exercício 11. ( oo,30 ponto cada item ) Encontrar a função primeira derivada das seguintes funções:
g(s)=\left(s^{3}+\sqrt{s}\right) \cdot \csc (2 s);

Passo 1

O enunciado dá a função
g(s)=\left(s^{3}+\sqrt{s}\right)\cdot \csc(2s)
e pede a sua derivada primeira g'(s). As informações relevantes que temos são:
  • A função é produto de duas funções de s: \(s^{3}+\sqrt{s}) e \(\csc(2s)).
  • Precisamos calcular a derivada em relação à variável \(s).
    Nada mais será assumido aqui — só essas duas peças e a pergunta: “qual é g'(s)?”

Passo 2

Regra que vamos usar (sem resolver ainda): para duas funções u(s) e v(s),
( u\cdot v )' = u'\cdot v + u\cdot v'.
Aqui identificamos
u(s)=s^{3}+\sqrt{s},\qquad v(s)=\csc(2s).
Essa fórmula diz: derive a primeira mantendo a segunda, some com a primeira mantendo a segunda derivada.

Passo 3

Derivando u(s)=s^{3}+\sqrt{s}.
  • Regra usada: a regra da potência diz que, para qualquer n, \dfrac{d}{ds}s^{n}=n s^{n-1}.
  • Aplicando em s^{3}: \dfrac{d}{ds}s^{3}=3s^{2}.
  • Para \sqrt{s} escrevemos \sqrt{s}=s^{1/2}. Usando a regra da potência:
\dfrac{d}{ds}s^{1/2}=\tfrac{1}{2}s^{-1/2}=\tfrac{1}{2\sqrt{s}}.
Portanto
u'(s)=3s^{2}+\tfrac{1}{2\sqrt{s}}.
Explicando em palavras: o termo 3s^{2} vem de abaixar o expoente 3 e reduzir um no expoente; o termo \tfrac{1}{2\sqrt{s}} vem do mesmo processo aplicado a s^{1/2}.

Passo 4

Derivando v(s)=\csc(2s).
  • Primeiro fato: a derivada da função \csc(x) em relação a x é \dfrac{d}{dx}\csc(x)=-\csc(x)\cot(x).
  • Aqui a variável interna é x=2s, então precisamos aplicar a regra da cadeia: se v(s)=\csc(2s) então
v'(s)=\dfrac{d}{dx}\csc(x)\bigg|_{x=2s}\cdot \dfrac{d}{ds}(2s).
  • Calculando: \dfrac{d}{dx}\csc(x)\big|_{x=2s}=-\csc(2s)\cot(2s) e \dfrac{d}{ds}(2s)=2.
  • Multiplicando esses fatores obtemos
v'(s)=-2\,\csc(2s)\cot(2s).
Em palavras: a derivada de \csc traz um sinal negativo e um fator \cot; a derivada do interior 2s dá um fator 2.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto (Passo 2) com u, u', v, v' já calculados:
g'(s)=u'(s)\,v(s)+u(s)\,v'(s).
Substituindo:
g'(s)=\left(3s^{2}+\tfrac{1}{2\sqrt{s}}\right)\csc(2s)+(s^{3}+\sqrt{s})\big(-2\csc(2s)\cot(2s)\big).
Escrevendo de forma mais limpa:
g'(s)=\left(3s^{2}+\tfrac{1}{2\sqrt{s}}\right)\csc(2s)-2(s^{3}+\sqrt{s})\csc(2s)\cot(2s).

Passo 6

Podemos fatorar \csc(2s) para deixar a expressão mais compacta (isso facilita leitura e também pode ser útil na prova):
g'(s)=\csc(2s)\left(3s^{2}+\tfrac{1}{2\sqrt{s}}-2(s^{3}+\sqrt{s})\cot(2s)\right).
Essa forma mostra claramente os dois blocos: o fator trigonométrico \csc(2s) e o restante que combina as derivadas.

Resposta

g'(s)=\csc(2s)\left(3s^{2}+\dfrac{1}{2\sqrt{s}}-2(s^{3}+\sqrt{s})\cot(2s)\right)

Exercícios relacionados