Exercício 11. ( oo,30 ponto cada item ) Encontrar a função primeira derivada das seguintes funções:
;
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a sua derivada primeira
. As informações relevantes que temos são:
- A função é produto de duas funções de
: ) e ). - Precisamos calcular a derivada em relação à variável
).
Nada mais será assumido aqui — só essas duas peças e a pergunta: “qual é?”
Passo 2
Regra que vamos usar (sem resolver ainda): para duas funções
e
,
Aqui identificamos
Essa fórmula diz: derive a primeira mantendo a segunda, some com a primeira mantendo a segunda derivada.
Passo 3
Derivando
.
- Regra usada: a regra da potência diz que, para qualquer
, . - Aplicando em
: . - Para
escrevemos . Usando a regra da potência:
Portanto
Explicando em palavras: o termo
vem de abaixar o expoente 3 e reduzir um no expoente; o termo
vem do mesmo processo aplicado a
.
Passo 4
Derivando
.
- Primeiro fato: a derivada da função
em relação a é . - Aqui a variável interna é
, então precisamos aplicar a regra da cadeia: se então
- Calculando:
e . - Multiplicando esses fatores obtemos
Em palavras: a derivada de
traz um sinal negativo e um fator
; a derivada do interior
dá um fator
.
Passo 5
Agora aplicamos a regra do produto (Passo 2) com
,
,
,
já calculados:
Substituindo:
Escrevendo de forma mais limpa:
Passo 6
Podemos fatorar
para deixar a expressão mais compacta (isso facilita leitura e também pode ser útil na prova):
Essa forma mostra claramente os dois blocos: o fator trigonométrico
e o restante que combina as derivadas.