Exercício 9. ( ou, so ponto ) Seja f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} dada por
f(x)=\left\{\begin{array}{rll} -\frac{1}{2} x^{2}, & \text { se } & x<0 \\\ \frac{1}{2} x^{2}, & \text { se } & x \geq 0 \end{array}\right.
Mostrar que f admite derivada primeira em seu domínio mas não admite derivada segunda nele. A argumentação apresentada deve ser justificada.

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por
f(x)=\left\{\begin{array}{rll} -\dfrac{1}{2}x^{2}, & \text{se} & x<0,\\[6pt] \dfrac{1}{2}x^{2}, & \text{se} & x\ge 0. \end{array}\right.
Pede-se para mostrar duas coisas:
  1. que f tem derivada primeira em todo o domínio \mathbb{R} (ou seja, f é diferenciável em cada ponto real);
  2. que f não tem derivada segunda em todo o domínio (ou seja, existe pelo menos um ponto onde f'' não existe).
    Informações relevantes fornecidas: a expressão de f em x<0 e em x\ge0. Não há outras informações externas.]

Passo 2

Vamos verificar diferenciabilidade em pontos x\neq 0. Aqui cada ramo é uma função polinomial (quadrática), e polinômios são diferenciáveis em todos os pontos. Para ficar concreto, calculamos a derivada em um ponto x\neq0 usando a regra do quociente incremental ou a regra da potência: se g(x)=\dfrac{1}{2}x^{2} então
g'(x)=\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\tfrac{1}{2}(x+h)^{2}-\tfrac{1}{2}x^{2}}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\tfrac{1}{2}(2xh+h^{2})}{h}=x.
Analogamente, para h(x)=-\dfrac{1}{2}x^{2} obtemos h'(x)=-x. Portanto, para todo x>0 vale f'(x)=x e para todo x<0 vale f'(x)=-x. Assim, f é diferenciável em todo x\neq0.

Passo 3

Agora verificamos diferenciabilidade em x=0 usando a definição. Primeiro calculamos f(0). Como o ramo para x\ge0 é \tfrac{1}{2}x^{2}, tem-se f(0)=\tfrac{1}{2}\cdot0^{2}=0. A definição de derivada em 0 é
f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f(h)}{h}.
Precisamos checar os limites laterais. Se h>0 então f(h)=\tfrac{1}{2}h^{2}, logo
\frac{f(h)}{h}=\frac{\tfrac{1}{2}h^{2}}{h}=\tfrac{1}{2}h\overset{h\to0^+}{\longrightarrow}0.
Se h<0 então f(h)=-\tfrac{1}{2}h^{2}, logo
\frac{f(h)}{h}=\frac{-\tfrac{1}{2}h^{2}}{h}=-\tfrac{1}{2}h\overset{h\to0^-}{\longrightarrow}0.
Ambos os lados tendem a 0, portanto o limite existe e
f'(0)=0.
Assim f é diferenciável em 0 também.

Passo 4

Juntando os resultados dos passos anteriores, obtemos a expressão da derivada f' em toda \mathbb{R}:
f'(x)=\left\{\begin{array}{rll} - x, & \text{se} & x<0,\\[4pt] 0, & \text{se} & x=0,\\[4pt] x, & \text{se} & x>0. \end{array}\right.
(Obtivemos -x para x<0 e x para x>0 pelos cálculos de derivada de polinômios; em 0 calculamos diretamente e achamos 0.)]

Passo 5

Agora investigamos a existência da derivada segunda. A segunda derivada f''(a) existe se e somente se f' é diferenciável em a, isto é, se
f''(a)=\lim_{h\to0}\frac{f'(a+h)-f'(a)}{h}
existe. Primeiro, para qualquer x\neq0 os ramos de f' são funções lineares ( -x à esquerda e x à direita), que são diferenciáveis, com derivada constante em cada ramo. Assim para x<0 temos f''(x)=-1 e para x>0 temos f''(x)=1. Logo f''(x) existe para todo x\neq0.

Passo 6

Falta verificar x=0. Vamos calcular a derivada de f' em 0 pela definição:
\lim_{h\to0}\frac{f'(0+h)-f'(0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f'(h)-0}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f'(h)}{h}.
Calculemos os limites laterais. Para h>0 temos f'(h)=h, então
\frac{f'(h)}{h}=\frac{h}{h}=1\qquad\text{para }h>0,
portanto
\lim_{h\to0^+}\frac{f'(h)}{h}=1.
Para h<0 temos f'(h)=-h, então
\frac{f'(h)}{h}=\frac{-h}{h}=-1\qquad\text{para }h<0,
portanto
\lim_{h\to0^-}\frac{f'(h)}{h}=-1.
Como os limites laterais são diferentes ( 1\neq -1), o limite total não existe. Logo f' não é diferenciável em 0, isto é, f''(0) não existe.

Passo 7

Conclusão justificada: f é diferenciável em todo ponto de \mathbb{R} (vimos explicitamente f'(x)=-x para x<0, f'(0)=0 e f'(x)=x para x>0), mas f''(0) não existe porque as derivadas laterais de f' em 0 são diferentes (limite pela direita igual a 1 e pela esquerda igual a -1). Portanto f admite derivada primeira em todo o domínio, mas não admite derivada segunda em todo o domínio (falha em x=0).

Resposta

A função f é diferenciável em todo \mathbb{R} com
f'(x)=\left\{\begin{array}{rll} - x, & \text{se} & x<0,\\[4pt] 0, & \text{se} & x=0,\\[4pt] x, & \text{se} & x>0, \end{array}\right.
porém f''(0) não existe (já que \lim_{h\to0^+}\dfrac{f'(h)-f'(0)}{h}=1 e \lim_{h\to0^-}\dfrac{f'(h)-f'(0)}{h}=-1).]

Exercícios relacionados