que f tem derivada primeira em todo o domínio \mathbb{R} (ou seja, f é diferenciável em cada ponto real);
que f não tem derivada segunda em todo o domínio (ou seja, existe pelo menos um ponto onde f'' não existe).
Informações relevantes fornecidas: a expressão de f em x<0 e em x\ge0. Não há outras informações externas.]
Passo 2
Vamos verificar diferenciabilidade em pontos x\neq 0. Aqui cada ramo é uma função polinomial (quadrática), e polinômios são diferenciáveis em todos os pontos. Para ficar concreto, calculamos a derivada em um ponto x\neq0 usando a regra do quociente incremental ou a regra da potência: se g(x)=\dfrac{1}{2}x^{2} então
Analogamente, para h(x)=-\dfrac{1}{2}x^{2} obtemos h'(x)=-x. Portanto, para todo x>0 vale f'(x)=x e para todo x<0 vale f'(x)=-x. Assim, f é diferenciável em todo x\neq0.
Passo 3
Agora verificamos diferenciabilidade em x=0 usando a definição. Primeiro calculamos f(0). Como o ramo para x\ge0 é \tfrac{1}{2}x^{2}, tem-se f(0)=\tfrac{1}{2}\cdot0^{2}=0. A definição de derivada em 0 é
(Obtivemos -x para x<0 e x para x>0 pelos cálculos de derivada de polinômios; em 0 calculamos diretamente e achamos 0.)]
Passo 5
Agora investigamos a existência da derivada segunda. A segunda derivada f''(a) existe se e somente se f' é diferenciável em a, isto é, se
f''(a)=\lim_{h\to0}\frac{f'(a+h)-f'(a)}{h}
existe. Primeiro, para qualquer x\neq0 os ramos de f' são funções lineares (-x à esquerda e x à direita), que são diferenciáveis, com derivada constante em cada ramo. Assim para x<0 temos f''(x)=-1 e para x>0 temos f''(x)=1. Logo f''(x) existe para todo x\neq0.
Passo 6
Falta verificar x=0. Vamos calcular a derivada de f' em 0 pela definição:
Como os limites laterais são diferentes (1\neq -1), o limite total não existe. Logo f' não é diferenciável em 0, isto é, f''(0) não existe.
Passo 7
Conclusão justificada: f é diferenciável em todo ponto de \mathbb{R} (vimos explicitamente f'(x)=-x para x<0, f'(0)=0 e f'(x)=x para x>0), mas f''(0) não existe porque as derivadas laterais de f' em 0 são diferentes (limite pela direita igual a 1 e pela esquerda igual a -1). Portanto f admite derivada primeira em todo o domínio, mas não admite derivada segunda em todo o domínio (falha em x=0).