Exercício 11. Prove a seguinte generalização da desigualdade entre a média aritmética e geométrica
(a1^p1 a2^p2 cdots an^pn)^1 /(p1+cdots+pn) <= p1 a1+p2 a2+cdots+pn anp1+p2+cdots+pn, para quaisquer ai, pi>0
Dica: Escrever x^k=e^k log x e usar a convexidade da função exponencial.

Passo 1

O enunciado pede para provar a desigualdade de média aritmética–geométrica ponderada
l(a1^p1,a2^p2cdots an^pnr)^1/(p1+cdots+pn) <= p1a1+p2a2+cdots+pnanp1+p2+cdots+pn,
para quaisquer ai>0 e pi>0. Vamos usar a convexidade da função exponencial, conforme sugerido pela dica.

Passo 2

Defina
P = p1 + p2 + cdots + pn, wi = piP (i=1,dots,n)
Então sumi=1^n wi = 1 e podemos reescrever a desigualdade original como
prodi=1^n ai^wi ;<=; sumi=1^n wi,ai

Passo 3

Considere a função phi(x)=e^x. Como
phi''(x)=e^x>0 para todo x,
temos que phi é convexa. Pela desigualdade de Jensen para funções convexas,
phi!l(sumi=1^n wi,xir) ;<=; sumi=1^n wi,phi(xi)
Escolhendo xi=log ai, obtemos
e^sumi=1^n wilog ai ;<=; sumi=1^n wi,e^log ai ;=; sumi=1^n wi,ai

Passo 4

Observe que
e^sumi=1^n wilog ai =prodi=1^n e^wilog ai =prodi=1^n ai^wi
Portanto acabamos de provar
prodi=1^n ai^wi ;<=; sumi=1^n wi,ai
Voltando às definições wi=pi/P e P=sum pi, isso é exatamente
l(a1^p1,a2^p2cdots an^pnr)^1/P <= p1a1+p2a2+cdots+pnanP

Resposta

A desigualdade ponderada da média aritmética e geométrica está demonstrada.

Exercícios relacionados