Exercício 11. Prove a seguinte generalização da desigualdade entre a média aritmética e geométrica
Dica: Escrever
e usar a convexidade da função exponencial.
Passo 1
O enunciado pede para provar a desigualdade de média aritmética–geométrica ponderada
para quaisquer
e
. Vamos usar a convexidade da função exponencial, conforme sugerido pela dica.
Passo 2
Defina
Então
e podemos reescrever a desigualdade original como
Passo 3
Considere a função
. Como
temos que
é convexa. Pela desigualdade de Jensen para funções convexas,
Escolhendo
, obtemos
Passo 4
Observe que
Portanto acabamos de provar
Voltando às definições
e
, isso é exatamente
Resposta
A desigualdade ponderada da média aritmética e geométrica está demonstrada.